Integrale doppio

[Angus1956]

Sia $D={(x,y)inRR^2|-abs(x)<=y<=2-x^2}$. Dire se $I=\int int_D y^2sin(x)-e^x dxdy$ è negativo o positivo senza fare calcoli,dire perchè si può applicare il teorema di riduzione e infine calcolare l'integrale.

Usiamo la linearità abbiamo che $\int int_D y^2sin(x)-e^x dxdy=\int int_D y^2sin(x)-\int int_D e^x$, notiamo che $D$ è invariante per cambi di segno di $x$ e la funzione $y^2sin(x)$ è dispari rispetto a $x$ allora $\int int_D y^2sin(x)=0$, inoltre $e^x>0$ $AAx inD$ e per monotonia dell'integrale abbiamo $\int int_D e^x>0$ da cui $-\int int_D e^x<0$. Ora siccome $e^x>0$ $AAx inD$ ed è misurabile (come funzione) allora possiamo applicare il teorema di Tonelli su $-\int int_D e^x=-\int_-2^0(\int_{x}^{2-x^2} e^x)-\int_0^2(\int_{-x}^{2-x^2} e^x)=-\int_-2^0e^x(-x^2-x+2)-\int_0^2e^x(-x^2+x+2)=-([e^x(-x^2-x+2)]_-2^0-[e^x(-2x-1)]_-2^0-[-2e^x]_-2^0+[e^x(-x^2+x+2)]_0^2-[e^x(-2x+1)]_0^2-[-2e^x]_0^2)$
( i calcoli non li faccio).

Volevo sapere se ho giustificato tutto correttamente e se il procedimento è giusto, grazie.

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

A parte diversi $\text{d}x \text{d}y $ dimenticati mi pare corretto...

Alla fine se non ho fatto male i conti si ha:

$I = \int \int_D [y^2 sin(x) - e^x] \text{d}x \text{d}y = 0 - \int \int_D e^x \text{d}x \text{d}y = - (2 + 5/e^2 + e^2) < 0 $

ove $D = {(x,y) \in \RR^2 | -abs(x) \le y \le 2-x^2} $

[Angus1956]

"pilloeffe":Ciao andreadel1988,

A parte diversi $\text{d}x \text{d}y $ dimenticati mi pare corretto...

AH si vero mi sono dimenticato... grazie comunque