Integrale Doppio
Buongiorno a tutti. Ho quest'esercizio su un integrale doppio $int int_(D)x/(x^2 +y^2) dx dy$, con $D$, definito dalla semicirconferenza data da $y>=0$, raggio $1$, centro in $(1,0)$.
Ho provato a semplificarmi la vita passando in coordinate polari, con la relazione $x=1+RcosO/$, $y=RsinO/$, con il dominio che diventa $0<=R<=1$, $0<=O/<=pi$.
Da qui però non so come procedere al calcolo dell'integrale, sapreste darmi una mano?
Ho provato a semplificarmi la vita passando in coordinate polari, con la relazione $x=1+RcosO/$, $y=RsinO/$, con il dominio che diventa $0<=R<=1$, $0<=O/<=pi$.
Da qui però non so come procedere al calcolo dell'integrale, sapreste darmi una mano?
Risposte
Ciao sguonza,
Guardando l'integrale mi pare sia più semplice risolverlo mediante il passaggio alle coordinate polari standard $x = \rho cos\theta $, $y = \rho sin\theta $
Occhio all'intervallo in cui varia $\rho $ (per $\theta $ semplicemente si ha $ 0 \le \theta \le \pi/2 $)
Guardando l'integrale mi pare sia più semplice risolverlo mediante il passaggio alle coordinate polari standard $x = \rho cos\theta $, $y = \rho sin\theta $
Occhio all'intervallo in cui varia $\rho $ (per $\theta $ semplicemente si ha $ 0 \le \theta \le \pi/2 $)
Considerando che il centro è in (1,0), non vale la formula $x=x0+RcosO/$? Altrimenti, seguendo il tuo consiglio, l'integrale verrebbe $int int cosO/ /R$, giusto?
"sguonza":
giusto?
No, ti stai dimenticando dello jacobiano della trasformazione in coordinate polari...
"sguonza":
Considerando che il centro è in (1,0), non vale la formula $x=x0+RcosO/$?
La scelta del polo delle coordinate polari è arbitraria.
Quindi, considerando $x=RcosO/$, $y=RsinO/$, lo Jacobiano verrebbe $R$, e quindi l'integrale sarebbe solo $cosO/$?
Sì. Se non ho fatto male i conti si ha:
$\int \int_D x/(x^2 +y^2) \text{d}x \text{d}y = \pi/2 $
ove $D = {(x,y) \in \RR^2 : (x - 1)^2 + y^2 = 1, y \ge 0} $
$\int \int_D x/(x^2 +y^2) \text{d}x \text{d}y = \pi/2 $
ove $D = {(x,y) \in \RR^2 : (x - 1)^2 + y^2 = 1, y \ge 0} $
Scusa il disturbo, vorrei capire bene il procedimento: per risolvere l'integrale hai usato le coordinate polari, o sei rimasto con quelle originali? Eventualmente, potresti spiegarmi bene il procedimento di risoluzione dell'integrale?
L'ho risolto con la trasformazione in coordinate polari standard che ti ho suggerito... Prova!
Dalla formula della circonferenza, in coordinate polari, mi viene $0<=R<=2cosO/$, è giusto come intervallo, con $0<=O/<=pi$?
$R$ è corretto, $\theta $ no: $0 \le \theta \le \pi/2 $, come ti ho già scritto in un mio post precedente...
Quindi l'integrale verrebbe $int_(0)^(pi/2) int_(0)^(2cosO/) cosO/ dx$?
No, il $\text{d}x$ non c'è, in compenso mancano $\text{d}R $ e $\text{d}\theta $ ...
Sisi certo, ho copiato il codice dell'integrale, e ho scordato di cambiare il $dx$. Un ultimo dubbio: integrando $cosO/$ tra $0$ e $2cosO/$, esce $sen(2cosO/)$, come si integra poi questo?
Eh? Cosa stai dicendo?
Devi integrare prima in $\text{d}R $ fra $0 $ e $2 cos\theta $ e poi dopo in $\text{d}\theta $ fra $0 $ e $\pi/2 $:
$\int_0^{\pi/2} cos\theta (\int_0^{2 cos\theta}\text{d}R)\text{d}\theta $
Ma siccome $R$ non è presente, ma si integra solo $cosO/$, come ci si comporta? Chiedo scusa, ma sono ancora un po' confuso su quest'argomento
"sguonza":
Ma siccome $R$ non è presente, ma si integra solo $cos∅$, come ci si comporta?
Eh? E il $\text{d}R $ non c'è?
"sguonza":
[...] ma sono ancora un po' confuso su quest'argomento
Eh, vabbeh che sei confuso, ma non dirmi che non sai calcolare il semplice integrale 1-D seguente:
$\int_0^{2 cos\theta}\text{d}R $
Aaaaah ok, quindi verrebbe $int_(0)^(pi/2) 2cos^2(O/) dO/$ , giusto? Non mi era chiaro come considerare l'integrale in $dR$, non avendo la costante $R$ nell'integranda.
Ultimissima domanda: essendo l'intervallo di $O/$: $0<=<=pi/2$, bisogna moltiplicare per 2 l'integrale? Così facendo non si considera solo un quarto di circonferenza, anzichè metà?
Ultimissima domanda: essendo l'intervallo di $O/$: $0<=<=pi/2$, bisogna moltiplicare per 2 l'integrale? Così facendo non si considera solo un quarto di circonferenza, anzichè metà?
"sguonza":
non avendo la costante $R$ nell'integranda
$R$ non è una costante, ma varia fra $0$ e $2cos\theta$: per questo ti avevo suggerito l'uso di $\rho $ nel mio primo post di risposta...
"sguonza":
giusto?
Sì, a parte che scrivi male $\theta $:
$\theta $
$\theta $
Ora dovresti essere in grado di concludere facilmente...
"sguonza":
bisogna moltiplicare per 2 l'integrale? Così facendo non si considera solo un quarto di circonferenza, anzichè metà?
No... Credo che tu non abbia capito bene la situazione: per farlo ti consiglio di fare un bel disegno di $D$...
Ho fatto il disegno, e il dominio sarebbe la semicirconferenza superiore, rispetto all'asse delle x, con centro $(1,0)$. Non capisco quindi perchè $\theta $ varia solo fino a $pi/2$
Esatto, quindi la semicirconferenza sta tutta nel primo quadrante giusto? Dato che siamo nel primo quadrante, fra quali valori varia $\theta $ ?
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