Integrale Doppio

[Dyelo]

Buongiorno a tutti. Ho quest'esercizio su un integrale doppio $int int_(D)x/(x^2 +y^2) dx dy$, con $D$, definito dalla semicirconferenza data da $y>=0$, raggio $1$, centro in $(1,0)$.
Ho provato a semplificarmi la vita passando in coordinate polari, con la relazione $x=1+RcosO/$, $y=RsinO/$, con il dominio che diventa $0<=R<=1$, $0<=O/<=pi$.
Da qui però non so come procedere al calcolo dell'integrale, sapreste darmi una mano?

[Dyelo]

Aah certo certo, ora mi è chiaro. Quindi non bisogna vedere l'angolo effettivo della semicirconferenza, ma solamente in che zona del piano è situata. Quindi se, ad esempio, fosse stata tra il secondo e il terzo quadrante, l'angolo sarebbe variato tra $pi/2$ e $3/2 pi$?

[pilloeffe]

Dipende da quale semicirconferenza hai in mente: se quella di centro $(- 1, 0) $ e raggio $1$ sopra l'asse delle $x$ allora col polo in $O(0,0)$ si avrebbe $\pi/2 <= \theta <= \pi $. Se invece pensavi a quella di centro $O(0,0) $ e raggio $1$ nel secondo e terzo quadrante allora col polo in $O(0,0) $ si avrebbe $\pi/2 <= \theta <= (3\pi)/2 $. In generale non prenderla come una regola fissa: l'intervallo di variabilità dell'angolo dipende anche dalla scelta del polo delle coordinate polari...
Se avessi scelto il polo $C(1,0) $ come avevi pensato inizialmente, allora $ 0 <= \theta <= \pi $

[Dyelo]

Grazie mille, gentilissimo!

[pilloeffe]

Prego!

L'integrale proposto si poteva risolvere anche senza ricorrere alle coordinate polari, ma sarebbe stato un bel po' più scomodo:

$\int \int_D x/(x^2 + y^2) \text{d}x \text{d}y $

ove $D = {(x,y) \in \RR^2 : (x - 1)^2 + y^2 = 1, y \ge 0} $

Facendo un disegno si vede subito che $0 \le x \le 2 $ e ricavando $y$ da $D$ si ottiene:

$y_{1,2} = \pm sqrt{1 - (x - 1)^2} $

Dato che $y \ge 0 $ naturalmente occorre scegliere la soluzione positiva e quindi $0 <= y <= sqrt{1 - (x - 1)^2} $
Dunque si ha:

$\int \int_D x/(x^2 + y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^2 [\int_0^{sqrt{1 - (x - 1)^2} } 1/(1 + (y/x)^2) \text{d}(y/x)] \text{d}x = $
$ = \int_0^2 [arctan(y/x)]_0^{sqrt{1 - (x - 1)^2}} \text{d}x = \int_0^2 arctan[sqrt{1 - (x - 1)^2}/x] \text{d}x \stackrel{\text{integrando pp}}[=] ... = $
$ = [-1/2 sqrt{2x - x^2} - arcsin(sqrt(1 - x/2)) + x arctan(sqrt{2x - x^2}/x)]_0^2 = arcsin(1) = \pi/2 $