Integrale doppio

[lepre561]

$int int (2x+y)ln(1+4x^2+y^2)dxdy$

$D={(x,y)in RR^2 : 4x^2+y^2<=1}$

allora il dominio è un ellissi che è verificata tutta all'interno...

Passo a corrdinate ellittiche ${(x=1/2rhocostheta),(y=rhosintheta):}$

vado a sostituire all'interno del mio dominio ottenendo $0<=rho<=1$ mentre $0<=theta<=2pi$


siccome con queste sostituzioni l'integrale non il massimo da svolgere mi è venuto il dubbio che abbia sbagliato qualcosa...

inoltre lo $J=1/2rho$ vi trovate?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Mi sa che quell'integrale fa \( 0 \), e lo vedi dalle simmetrie...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Si fa zero. Non hai sbagliato, ma quell'integrale lo puoi risolvere. Quando passi a coordinate ellitiche
\[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \rho^2 \ln(1+ \rho^2) (\cos(\theta) + \sin(\theta) ) d \theta d\rho = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \rho^2 \ln(1+ \rho^2) \begin{pmatrix} \int_{0}^{2 \pi} \cos(\theta) + \sin(\theta) d \theta \end{pmatrix} d\rho = \ldots \]
Credo di non aver fatto errori, fosse il caso mi scuso.

[Bokonon]

Traduzione per Lepre: quando gli estremi di integrazione dell'integrale in $drho$ non dipendono da $theta$ (e quindi puoi agevolmente spezzare l'integrale nel prodotto), allora butta sempre un'occhiata prima all'integrale in $d theta$.
Non sia mai che faccia zero e che tu abbia perso un sacco di tempo a risolvere quello in $drho$ (che darà solo uno scalare) per nulla.