Integrale dipendente da parametro con derivata
Ciao, sono nuovo del forum, quindi ciao a tutti 
Chiedo, per favore, il vostro aiuto per un esercizio, in particolare è questo:
\(\displaystyle
F(x)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{sint}{t}dt
\)
Si richiede in particolare di:
1- mostrare che esiste la derivata di F(x) per x>0 (questo non da nessun problema);
2- mostrare che
\(\displaystyle
F'(x)= -\frac{1}{1+x^2}
\)
e anche questo non da problemi.
3- l'ultimo punto (che non riesco a fare) chiede di mostrare che:
\(\displaystyle F(x)=\frac{\pi}{2}-arctg(x) \)
sempre per x>0.
Perchè c'è proprio quel pigreco mezzi? Grazie mille a tutti!
Chiedo, per favore, il vostro aiuto per un esercizio, in particolare è questo:
\(\displaystyle
F(x)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{sint}{t}dt
\)
Si richiede in particolare di:
1- mostrare che esiste la derivata di F(x) per x>0 (questo non da nessun problema);
2- mostrare che
\(\displaystyle
F'(x)= -\frac{1}{1+x^2}
\)
e anche questo non da problemi.
3- l'ultimo punto (che non riesco a fare) chiede di mostrare che:
\(\displaystyle F(x)=\frac{\pi}{2}-arctg(x) \)
sempre per x>0.
Perchè c'è proprio quel pigreco mezzi? Grazie mille a tutti!
Risposte
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale... 
Inoltre, è noto (o dovrebbe esserlo) che:
\[
\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t = \frac{\pi}{2}\; .
\]
Inoltre, è noto (o dovrebbe esserlo) che:
\[
\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t = \frac{\pi}{2}\; .
\]
Grazie per la risposta:) per quanto riguarda il teorema fondamentale del calcolo, anche io ci avevo pensato ma mi crea un po' di confusione questo esercizio; mi spiego:
dei due punti precedenti ho che:
\(\displaystyle
F(x)=\int_0^{\infty}e^{-tx}\frac{sint}{t}dt
\)
e so anche questo:
\(\displaystyle
F'(x)= - \frac{1}{1+x^2} \).
Ora si vede che se io faccio un calcolo del genere (cambiando da x a z la variabile muta di integrazione):
\(\displaystyle
F(z)=\int_{-\infty}^x -\frac{1}{1+z^2}dz
\)
ottengo proprio quello che voglio. Ma i punti precedenti richiedevano i calcoli per x>0! Altrimenti non posso trovare una maggiorante e applicare il teorema.
Non capisco quindi, come faccio ad applicare il teorema fondamentale in questo caso, puoi essere molto esplicito per favore? Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
grazie mille!
dei due punti precedenti ho che:
\(\displaystyle
F(x)=\int_0^{\infty}e^{-tx}\frac{sint}{t}dt
\)
e so anche questo:
\(\displaystyle
F'(x)= - \frac{1}{1+x^2} \).
Ora si vede che se io faccio un calcolo del genere (cambiando da x a z la variabile muta di integrazione):
\(\displaystyle
F(z)=\int_{-\infty}^x -\frac{1}{1+z^2}dz
\)
ottengo proprio quello che voglio. Ma i punti precedenti richiedevano i calcoli per x>0! Altrimenti non posso trovare una maggiorante e applicare il teorema.
Non capisco quindi, come faccio ad applicare il teorema fondamentale in questo caso, puoi essere molto esplicito per favore? Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
grazie mille!
Per il TFCI hai certamente:
\[
F(x)-F(0)=\int_0^x F^\prime (t)\ \text{d} t\; ,
\]
quindi...
\[
F(x)-F(0)=\int_0^x F^\prime (t)\ \text{d} t\; ,
\]
quindi...
Grazie mille, ultima domanda, è possibile dimostrarlo senza dare per scontato l integrale\(\displaystyle
\int_0^{\infty} \frac{sinx}{x} \)? Perché l ultimo punto dell esercizio chiederebbe di provare a mostrare proprio questo:)
Grazie mille ancora:)
\int_0^{\infty} \frac{sinx}{x} \)? Perché l ultimo punto dell esercizio chiederebbe di provare a mostrare proprio questo:)
Grazie mille ancora:)
Se riuscissi a provare che \(\lim_{x\to +\infty} F(x)=0\) a partire dall'assegnazione che definisce \(F\), allora sempre per il TFCI avresti:
\[
-F(x)=\lim_{\xi \to +\infty} F(\xi) -F(x) = \lim_{\xi \to +\infty} \int_x^{\xi} F^\prime (t)\ \text{d} t = \int_x^{+\infty} F^\prime (t)\ \text{d} t= \arctan x-\frac{\pi}{2}
\]
ed avresti concluso.
Non conviene usare punti al finito, poiché quell'integrale che ti è stato assegnato non sembra elementarmente calcolabile per nessuna \(x\geq 0\).
Quindi, se vuoi usare il TFCI ma non vuoi usare la relazione \(F(0)=\pi/2\), allora devi provare a dimostrare che:
\[
\lim_{x\to +\infty} \int_0^{+\infty} e^{-tx}\ \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t = 0\; ;
\]
dato che:
\[
0 =\int_0^{+\infty} \left( \lim_{x\to +\infty} e^{-tx}\ \frac{\sin t}{t}\right)\ \text{d} t\; ,
\]
ti basta verificare se sono soddifatte le ipotesi di qualche teorema a te noto di passaggio al limite sotto il segno d'integrale.
\[
-F(x)=\lim_{\xi \to +\infty} F(\xi) -F(x) = \lim_{\xi \to +\infty} \int_x^{\xi} F^\prime (t)\ \text{d} t = \int_x^{+\infty} F^\prime (t)\ \text{d} t= \arctan x-\frac{\pi}{2}
\]
ed avresti concluso.
Non conviene usare punti al finito, poiché quell'integrale che ti è stato assegnato non sembra elementarmente calcolabile per nessuna \(x\geq 0\).
Quindi, se vuoi usare il TFCI ma non vuoi usare la relazione \(F(0)=\pi/2\), allora devi provare a dimostrare che:
\[
\lim_{x\to +\infty} \int_0^{+\infty} e^{-tx}\ \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t = 0\; ;
\]
dato che:
\[
0 =\int_0^{+\infty} \left( \lim_{x\to +\infty} e^{-tx}\ \frac{\sin t}{t}\right)\ \text{d} t\; ,
\]
ti basta verificare se sono soddifatte le ipotesi di qualche teorema a te noto di passaggio al limite sotto il segno d'integrale.
Grazie mille, si ho un teorema che fa proprio al caso mio! Grazie mille davvero!
Dal momento che sto affrontando lo stesso esericizio, per provare il punto 1) utilizzo il teorema per integrali dipendenti da parametro? Oppure effettuo una maggiorazione della funzione integranda con una sommabile?
"math91":
Dal momento che sto affrontando lo stesso esericizio, per provare il punto 1) utilizzo il teorema per integrali dipendenti da parametro? Oppure effettuo una maggiorazione della funzione integranda con una sommabile?
Nessuno può aiutarci? Mi servirebbe lo stesso esercizio
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