Integrale di volume spicchio di sfera

[Lory9618]

Calcolare il volume della funzione $f(x,y,z):=2x+y$ definita in $V:={(x,y,z) in RR | x^2+y^2+z^2<=2 , y>=sqrt(x^2+z^2)}$

Cioè una sfera di raggio $sqrt(2)$ e centro $(0,0,0)$ e un cono infinito lungo y. La soluzione proposta passa alle coordinate della sfera, con rispettivo Jacobiano:

$\{(x = rho*cos(theta)*sin(phi) ),(y = rho*cos(phi)),(z = rho*sin(theta)*sin(phi) ):}$ dove $rho in [0,+infty], theta in [0,2pi], phi in [0,pi]$

Il mio dubbio è sugli estremi di integrazione:
$\int_0^(2pi) int_0^(pi/4) int_0^sqrt(2) ... d rho d phi d theta$
per quanto riguarda $rho in [0,sqrt(2)]$ va bene dato che rappresenta il raggio, ma i due angoli come mai?
Non è uno spicchio di sfera che va da $[-pi/4,pi/4]$ e dunque riscritto come:
$ 2* \int_0^(pi/4) int_0^(pi/4) int_0^sqrt(2) ... d rho d phi d theta$

[cooper1]

quegli estremi seguono da questa relazione del dominio:
$ y >= sqrt(x^2+z^2) $
andando a sostituire con il cambio di coordinate arrivi a :

$ rho cosphi >= rho sinphi hArr tg phi <= 1 $

da cui segue l'estremo.

[Lory9618]

Giusto! Ed il $2pi$ di theta? Perchè se sostituisco le nuove coordinate nel dominio della sfera ottengo $rho^2<=2$

[gugo82]

@ Lory9618: Questa è una di quelle situazioni in cui fare un disegno aiuta parecchio...

[Lory9618]

Magari sbaglio il disegno, ma così non riesco a capire da dove salti fuori

[cooper1]

dal dominio su cui vuoi integrare non esce nessuna condizione su $theta$ di conseguenza questo può variare a piacere tra 0 e $2pi$

[gugo82]

@ Lory9618: Guarda bene... Gli angoli che hai segnato nel disegno non sono quelli corrispondenti al cambiamento di coordinate che stai usando (che ha l'asse polare -quello rispetto al quale misuri $\phi$- coincidente con $y$, non con $z$).