Integrale di un'equazione differenziale
Ciao a tutti. Vorrei chiedervi se potreste darmi un suggerimento su questo esercizio riguardante le equazioni differenziali. Devo praticamente dimostrare che la seguente funzione sia l'integrale per l'equazione differenziale corrispondente
[tex](x-y+1)y'=1[/tex]
[tex]y=x+Ce^y[/tex]
(Per integrale si intende soluzione esatto?)
[tex](x-y+1)y'=1[/tex]
[tex]y=x+Ce^y[/tex]
(Per integrale si intende soluzione esatto?)
Risposte
Per integrale (generale) di un'equazione differenziale si intende l'insieme di tutte le soluzioni (al variare di una/più costanti reali) dell'equazione stessa.
Se vuoi dimostrare che una certa funzione sia l'integrale generale della tua equazione differenziale è necessario imporre semplicemente che sia soluzione dell'equazione stessa (ovvero tramite sostituzione tu ottenga l'identità).
Se vuoi dimostrare che una certa funzione sia l'integrale generale della tua equazione differenziale è necessario imporre semplicemente che sia soluzione dell'equazione stessa (ovvero tramite sostituzione tu ottenga l'identità).
"lordb":
Per integrale (generale) di un'equazione differenziale si intende l'insieme di tutte le soluzioni (al variare di una/più costanti reali) dell'equazione stessa.
Si, in realtà non è proprio così, questo è un termine su cui c'è confusione perché autori diversi adottano sfumature diverse di significato. Se la definizione fosse quella che dici allora Nick_93 dovrebbe verificare anche che, oltre a quelle date, non esistono altre soluzioni. Se invece assumessimo come definizione di "integrale generale" semplicemente "una famiglia di soluzioni dell'equazione dipendente da uno o più parametri" (come è più comune), allora Nick_93 dovrebbe soltanto verificare che tutte le funzioni della famiglia assegnata sono soluzioni ed è molto più semplice.
Quindi dipende dalla definizione che Nick_93 adotta, ma questo ce lo può dire solo lui. Non è possibile che il professore abbia parlato di "integrale generale" senza darne la definizione.
Ah capisco, io una famiglia di soluzioni (indipendenti,base per lo spazio vettoriale delle soluzioni) la chiamo "sistema fondamentale di soluzioni".
Ok, però stai attento che quelli di cui parli sono concetti propri del caso lineare. Invece si parla di "integrale generale" anche per equazioni non lineari come ad esempio quella di questo thread.
Ok perfetto grazie per la precisazione 
Da quello che leggo dai miei appunti, facendo riferimento ala soluzione che trasforma in identità l'equazione differenziale, se la soluzione è data in forma implicita, si dice al solito che è un integrale
Purtroppo però ancora non sono riuscito a risolverlo perchè non so come trattare [tex]e^x[/tex]
Purtroppo però ancora non sono riuscito a risolverlo perchè non so come trattare [tex]e^x[/tex]
Come soluzione forse intendi \(\displaystyle y=x+ce^{x} \) non \(\displaystyle y=x+ce^{y} \)...
No, intendo proprio quello che ho scritto:
Sono una serie di esercizi con questa consegna:
Dimostrare che le seguenti funzioni sono integrali per le equazioni differenziali corrispondenti:
[tex](x-y+1)y'=1[/tex]
[tex]y=x+Ce^y[/tex]
Ad esempio un'altro esercizio simile è:
[tex](x-2y)y'=2x-y[/tex]
[tex]x^2-xy+y^2=C^2[/tex]
Come risolvo questo tipo di esercizi?
Sono una serie di esercizi con questa consegna:
Dimostrare che le seguenti funzioni sono integrali per le equazioni differenziali corrispondenti:
[tex](x-y+1)y'=1[/tex]
[tex]y=x+Ce^y[/tex]
Ad esempio un'altro esercizio simile è:
[tex](x-2y)y'=2x-y[/tex]
[tex]x^2-xy+y^2=C^2[/tex]
Come risolvo questo tipo di esercizi?
Puoi procedere così:
$[x^2-xy+y^2=C^2] rarr$
$rarr [2xdx-ydx-xdy+2ydy=0] rarr$
$rarr [(x-2y)dy=(2x-y)dx] rarr$
$rarr [(x-2y)y'=2x-y]$
$[x^2-xy+y^2=C^2] rarr$
$rarr [2xdx-ydx-xdy+2ydy=0] rarr$
$rarr [(x-2y)dy=(2x-y)dx] rarr$
$rarr [(x-2y)y'=2x-y]$
Quindi basta derivare sia x che y come se fossero derivate parziali?? Però in questo modo, nel primo esercizio, [tex]e^y[/tex] continua a rimanere [tex]e^y[/tex] senza arrivare a una soluzione? Come si potrebbe risolvere?
$[y=x+Ce^y] rarr$
$rarr [ye^(-y)-xe^(-y)=C] rarr$
$rarr [e^(-y)dy-ye^(-y)dy+xe^(-y)dy-e^(-y)dx=0] rarr$
$rarr [dy-ydy+xdy-dx=0] rarr$
$rarr [(x-y+1)dy=dx] rarr$
$rarr [(x-y+1)y'=1]$
In ogni modo, trattandosi di un procedimento informale, bisognerebbe almeno saper spiegare il suo funzionamento.
$rarr [ye^(-y)-xe^(-y)=C] rarr$
$rarr [e^(-y)dy-ye^(-y)dy+xe^(-y)dy-e^(-y)dx=0] rarr$
$rarr [dy-ydy+xdy-dx=0] rarr$
$rarr [(x-y+1)dy=dx] rarr$
$rarr [(x-y+1)y'=1]$
In ogni modo, trattandosi di un procedimento informale, bisognerebbe almeno saper spiegare il suo funzionamento.
In che senso saper spiegare il suo funzionamento?
"Nick_93":
In che senso saper spiegare il suo funzionamento?
Nel senso che, applicando acriticamente le regole di cui sopra, si rischia di perdere di vista il nocciolo della questione. A questo punto, prova tu a spiegare che cosa c'è dietro quel procedimento. Ovviamente, se sei solo interessato a risolvere l'esercizio applicando delle regole pratiche di misteriosa provenienza, è un altro discorso.
Per dimostrare che le funzioni date sono integrali (cioè soluzioni) per le equazioni differenziali associate nell'esercizio, applichiamo le derivate parziali in modo da percorrere la strada inversa a quella per arrivare a determinare tutte le primitive, che in questo caso sono determinate da due variabili indipendenti (?)
Probabilmente l'ho spiegato male o non era quello che intendevi, ma credo di aver capito! Ciò che non mi tornava era un passaggio pratico, cioè quello di isolare a secondo membro la costante C per poi fare la derivata
Probabilmente l'ho spiegato male o non era quello che intendevi, ma credo di aver capito! Ciò che non mi tornava era un passaggio pratico, cioè quello di isolare a secondo membro la costante C per poi fare la derivata
Effettivamente non lo hai spiegato proprio bene bene. Vediamo di ragionare così: hai una equazione algebrica, tipo $x^3-7x^2+6x+8=0$ e io ti dico che $x=2$ potrebbe essere una soluzione, Come fai a verificarlo? Lo stesso spirito, lo usi per verificare se quelle soluzioni fornite lo sono, effettivamente, per la tua equazione.
La strada più immediata sarebbe quella di sostituire x=2 nell'equazione. Per quanto riguarda l'equazione differeneziale, abbiamo le soluzioni che sono l'insieme delle primitive. Se derivo la primitiva devo trovare un'uguaglianza come nel caso dell'equazione da te proposta come esempio. Ora, credo che anche così non sia del tutto corretto! Qual'è la versione precisa e chiara di questo concetto?
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