Integrale di una superficie di rotazione
Ho dei dubbi sul procedimento di questo esercizio:
In un riferimento Cartesiano x, y, z è dato l’insieme A ⊂ {y = 0, x, z > 0} che è delimitato dalle curve di equazioni $z=e^x,z=4e^x,z=e^(−x+2),z=e^(−x+4)$ del piano y = 0. Detto M il solido che si ottiene facendo ruotare A di 360° attorno all'asse z, calcolare $\int (dxdydz)/(x^2+y^2)^(1/2)$.
Per fare l'esercizio io troverei l'area di A e la coordinata x del baricentro di A. Il volume dovrebbe essere il prodotto fra questi due valori e $2\pi$ (cioè l'angolo di rotazione). È giusto procedere così?
In un riferimento Cartesiano x, y, z è dato l’insieme A ⊂ {y = 0, x, z > 0} che è delimitato dalle curve di equazioni $z=e^x,z=4e^x,z=e^(−x+2),z=e^(−x+4)$ del piano y = 0. Detto M il solido che si ottiene facendo ruotare A di 360° attorno all'asse z, calcolare $\int (dxdydz)/(x^2+y^2)^(1/2)$.
Per fare l'esercizio io troverei l'area di A e la coordinata x del baricentro di A. Il volume dovrebbe essere il prodotto fra questi due valori e $2\pi$ (cioè l'angolo di rotazione). È giusto procedere così?
Risposte
Se ben ricordo, la formula con il baricentro vale quando bisogna calcolare il volume, cioè quando nell'integrale c'è solo $dxdydz$; nel tuo caso, invece, usando le coordinate cilindriche viene:
$(dxdydz)/(sqrt(x^2+y^2))=(rho d rho d phi d z)/rho=d rho d phi d z$
Integrando in $d phi$ viene un fattore $2 pi$, dopodiché basta trovare l'area della figura piana.
$(dxdydz)/(sqrt(x^2+y^2))=(rho d rho d phi d z)/rho=d rho d phi d z$
Integrando in $d phi$ viene un fattore $2 pi$, dopodiché basta trovare l'area della figura piana.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo