Integrale di Sinc
Salve a tutti ho un problema relativo ad un integrale generalizzato da calcolare su una particolare funzione chiamata Sinc.Vorrei chiedervi un aiuto per il calcolo di questo integrale..Ora lo scrivo a parole;
integrale da meno a più infinito di sin(pi-greco*t)/pi-greco*t.La variabile è "t".Se non si capisce magari suggeritemi il modo per scriverlo in formula.Scusate
Grazie mille.
integrale da meno a più infinito di sin(pi-greco*t)/pi-greco*t.La variabile è "t".Se non si capisce magari suggeritemi il modo per scriverlo in formula.Scusate
Grazie mille.
Risposte
Allora la funzione è questa:
$f(x)= (sin pi t)/(pit)$.
Essendo la funzione pari possiamo studiare solamente la parte positiva dell'integrale e consegunetemente trarre le opportune conclusioni.
Quello che si deve dimostrare è:
$int_0^(+oo) (sin pi t)/(pit) dt <+oo$.
Ora fissiamo $epsilon>0$, quindi riscrivendo l'integrale si avrà:
$int_0^(+oo) (sin pi t)/(pi t)=int_0^(epsilon) (sin pi t)/(pi t) dt + int_(epsilon)^(+oo) (sin pi t)/(pi t) dt$.
Il primo integrale è finito perchè nell'intervallo $[0,epsilon]$ la funzione è continua.
Il secondo integrale si sviluppa per parti, ottenendo:
$int_(epsilon)^(+oo) (sin pi t)/(pi t) dt= -(cos t)/(pi^2t) |_(epsilon)^(+oo) - int_(epsilon)^(+oo) (cos pi t)/t^2 dt$.
La prima parte è un numero reale mentre:
$int_(epsilon)^(+oo) (cos pi t)/t^2 dt< int_(epsilon)^(+oo) 1/t^2$ che è integrabile.
Da questo la tesi.
$f(x)= (sin pi t)/(pit)$.
Essendo la funzione pari possiamo studiare solamente la parte positiva dell'integrale e consegunetemente trarre le opportune conclusioni.
Quello che si deve dimostrare è:
$int_0^(+oo) (sin pi t)/(pit) dt <+oo$.
Ora fissiamo $epsilon>0$, quindi riscrivendo l'integrale si avrà:
$int_0^(+oo) (sin pi t)/(pi t)=int_0^(epsilon) (sin pi t)/(pi t) dt + int_(epsilon)^(+oo) (sin pi t)/(pi t) dt$.
Il primo integrale è finito perchè nell'intervallo $[0,epsilon]$ la funzione è continua.
Il secondo integrale si sviluppa per parti, ottenendo:
$int_(epsilon)^(+oo) (sin pi t)/(pi t) dt= -(cos t)/(pi^2t) |_(epsilon)^(+oo) - int_(epsilon)^(+oo) (cos pi t)/t^2 dt$.
La prima parte è un numero reale mentre:
$int_(epsilon)^(+oo) (cos pi t)/t^2 dt< int_(epsilon)^(+oo) 1/t^2$ che è integrabile.
Da questo la tesi.
Suppongo però che Wiles.Jr sia interessato al calcolo dell'integrale, e non solo alla dimostrazione della sua convergenza. Per questo gli consiglio di dare una ripassatina agli integrali in campo complesso e poi di tuffarsi qui, in fondo alla pagina.
è esattamente così..Sono soprattutto interessato al calcolo dell'integrale..Grazie.!
"Wiles.Jr":
è esattamente così..Sono soprattutto interessato al calcolo dell'integrale..Grazie.!
Prima di tutto devi essere interessato se l'integrale converge, dopo al calcolo se e solo se converge
"Camillo":
[quote="Wiles.Jr"]è esattamente così..Sono soprattutto interessato al calcolo dell'integrale..Grazie.!
Prima di tutto devi essere interessato se l'integrale converge, dopo al calcolo se e solo se converge
[/quote]Volendo essere cavillosi, dovrebbe essere "... e dopo al calcolo se converge"
Ciao.
Scusate se uppo questo thread ma avrei anche io bisogno di sapere qual è l'integrale indefinito di sinc(x) e di sinc al quadrato....potete aiutarmi?
Diciamo che questa funzione (o questo integrale) possono essere visti come funzioni in campo complesso ricordando che:
$sinpit=(e^(i*pi*t)-e^(-i*pi*t))/(2i)$
Nel link del topic di elgiovo trovate molti dettagli a riguardo.
Mod: corretto! Grazie
$sinpit=(e^(i*pi*t)-e^(-i*pi*t))/(2i)$
Nel link del topic di elgiovo trovate molti dettagli a riguardo.
Mod: corretto! Grazie
Veramente è $sin(pit)=(e^(ipit)-e^(-ipit))/(2i)
Comunque, una volta verificato il fatto che l'integrale converge, il suo calcolo può
essere eseguito mediante l'applicazione della teoria dei residui.
Su qualche sito Internet sicuramente c'e' il procedimento. Soprattutto
sulle dispense dei corsi di Metodi Matematici per l'Ingegneria, che si possono scaricare dalla rete.
Comunque, una volta verificato il fatto che l'integrale converge, il suo calcolo può
essere eseguito mediante l'applicazione della teoria dei residui.
Su qualche sito Internet sicuramente c'e' il procedimento. Soprattutto
sulle dispense dei corsi di Metodi Matematici per l'Ingegneria, che si possono scaricare dalla rete.
"xxalex79xx":
Scusate se uppo questo thread ma avrei anche io bisogno di sapere qual è l'integrale indefinito di sinc(x) e di sinc al quadrato....potete aiutarmi?
Non esiste l'integrale indefinito di senx /x.....ma come in molti suggerivano si può dimostrare che $int_0^\infty((senx)/x)dx = pi/2$
"FireXl":
[quote="xxalex79xx"]Scusate se uppo questo thread ma avrei anche io bisogno di sapere qual è l'integrale indefinito di sinc(x) e di sinc al quadrato....potete aiutarmi?
Non esiste l'integrale indefinito di senx /x.....[/quote]
Per esistere esiste (si può dimostrare), forse volevi dire che non può essere espresso con le funzioni elementari...
Si, certo, quello che volevo dire è che non è possibile esprimere questa primitiva con funzioni elementari...
P.S. Dove posso trovare la dimostrazione che la primitiva di $(senx)/x$ esiste ?
Pensandoci forse, una dimostrazione banale potrebbe essere che, esistendo l integrale definito da o a +infinito, allora deve per forza esistere anche l integrale indefinito, o no?
Però adesso mi sono incuriosito
Grazie
P.S. Dove posso trovare la dimostrazione che la primitiva di $(senx)/x$ esiste ?
Pensandoci forse, una dimostrazione banale potrebbe essere che, esistendo l integrale definito da o a +infinito, allora deve per forza esistere anche l integrale indefinito, o no?
Però adesso mi sono incuriosito
Grazie
Diciamo che il tutto nasce per esempio dalla definizione di integrale di Riemann. Si può vedere che la funzione $f(x)$ è continua su tutto $RR$ e quindi è integrabile di certo.
Quindi come corollario del teorema fondamentale del calcolo ottieni che la funzione integrale:
$F(x)=\int_(x_0)^x (sint)/t dt$
è di per sè la primitiva della funzione cercata.
Se poi vuoi dare una occhiata a come possa essere detta funzione o come si possa comportare... non ti resta altro che sviluppare in serie $f$.
Quindi come corollario del teorema fondamentale del calcolo ottieni che la funzione integrale:
$F(x)=\int_(x_0)^x (sint)/t dt$
è di per sè la primitiva della funzione cercata.
Se poi vuoi dare una occhiata a come possa essere detta funzione o come si possa comportare... non ti resta altro che sviluppare in serie $f$.
Grazie, come al solito era una cosa così ovvia che non ci avevo pensato
"Lord K":
Si può vedere che la funzione $f(x)$ è continua su tutto $RR$ e quindi è integrabile di certo.
Intanto $(sinx)/x$ non è continua, ma è estendibile per continuità a tutto $RR$ definendo $g(x):={( (sinx)/x" se " x!=0), (1" se "x=0):}$
Poi anche $x^2$ è continua su tutto $RR$ ma non è integrabile manco per niente sull'insieme $RR$... Ricordiamoci che l'integrale su $RR$ è sempre
il LIMITE di un integrale su un intervallo limitato. In questo caso $lim_(L->+oo) int_(-L)^L (sinx)/x dx$ . E' chiaro che $(sinx)/x$ è integrabile
su ogni intervallo limitato contenuto in $RR$ e simmetrico rispetto a x=0, $(-L,L)$, ma l'esistenza del limite non l'assicura nessuno. Bisogna usare i criteri di convergenza.
"fireball":
[quote="Lord K"]Si può vedere che la funzione $f(x)$ è continua su tutto $RR$ e quindi è integrabile di certo.
Intanto $(sinx)/x$ non è continua, ma è estendibile per continuità a tutto $RR$ definendo $g(x):={( (sinx)/x" se " x!=0), (1" se "x=0):}$
Poi anche $x^2$ è continua su tutto $RR$ ma non è integrabile manco per niente...[/quote]
Scusa ma non seguo il tuo ragionamento... una funzione è R-integrabile se è continua o se è continua a tratti. Questa lo è e quindi è integrabile.
Per quanto riguarda $x^2$ perchè dici che non è integrabile????
Penso che la sostanziale differenza tra $f(x)=x^2$ e $f(x)= (senx)/x$ è che la prima non è assolutamente integrabile e la seconda invece si, dato che il suo limite per x->infinito è nullo...
"fireball":
[quote="Lord K"]Si può vedere che la funzione $f(x)$ è continua su tutto $RR$ e quindi è integrabile di certo.
Intanto $(sinx)/x$ non è continua, ma è estendibile per continuità a tutto $RR$ definendo $g(x):={( (sinx)/x" se " x!=0), (1" se "x=0):}$
Poi anche $x^2$ è continua su tutto $RR$ ma non è integrabile manco per niente sull'insieme $RR$... Ricordiamoci che l'integrale su $RR$ è sempre
il LIMITE di un integrale su un intervallo limitato. In questo caso $lim_(L->+oo) int_(-L)^L (sinx)/x dx[/quote]
Fermi tutti! Da qui si evince che usiamo definizioni differenti! Quindi ho capito a cosa fai riferimento, ma il mio "integrabile" è riferito ad un intervallo del tipo $[a,b]$
Allora ok.
Di solito si usa dire "integrabile" anche quando a rigore si dovrebbe dire "integrabile in senso improprio".
"fireball":
Intanto $(sinx)/x$ non è continua, ma è estendibile per continuità a tutto $RR$ definendo $g(x):={( (sinx)/x" se " x!=0), (1" se "x=0):}$
Spiego ancora meglio: $(sinx)/x$ in $x=0$ non è proprio definita! Prima di fare qualsiasi cosa si assegna il dominio, poi la funzione.
In questo caso, dato $D=RR\\{0}$, si ha $f : D->RR, f(x)=(sinx)/x$. Siccome $f$ è continua in $D$ (essendo composta da funzioni ivi continue)
e il limite di $f$ nel punto di frontiera (cioè x=0) di D esiste ed è pari a 1, si definisce $g(x)$ in quel modo e si ottiene una funzione DEFINITA e CONTINUA su tutto $RR$.
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