Integrale di Logx/x

[Piffuz88]

Ciao a tutti...ho un problema di incongruenza Testo/Soluzione di questo esercizio: $int (lnx)/x dx$

La soluzione del libro è $(ln^2x)/x +c$, la mia soluzione invece risulta: $(ln^2x)/2 + c$

Spiego qui i 2modi in cui l'ho risolta...ci sono errori?

1) Per sostituzione: $int (lnx)/x dx$

Considero $t = lnx$, quindi $dt = 1/x dx$, allora $dx/x = dt$

$int (lnx)/x dx = int lnx*dx/x = int t*dt = 1/2*t^2 +c = 1/2*ln^2x + c = (ln^2x)/2 + c$


2) Per Parti: $int (lnx)/x dx$

Prendo $f(x) = lnx$ quindi la sua derivata è: $f'(x)= 1/x
Prendo $g'(x) = 1/x$ quindi una sua primitiva è: $g(x)= int 1/x*dx = ln|x|$

$int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - int f'(x)g(x) dx$
quindi $int (lnx)/x dx = lnx*ln|x| - int 1/x*ln|x|*dx$
$int (lnx)/x dx = ln^2x - int (lnx)/x dx

sposto 1 membro dell'equazione: $2int (lnx)/x dx = ln^2x$ quindi $int (lnx)/x dx = (ln^2x)/2 + c$


Sbaglio qualcosa? oppure è errata la soluzione del libro? Grazie
Piffo

[j18eos]

Avresti fatto prima con la verifica (derivando il risultato)!

Visto che il tuo risultato è corretto quello del libro è errato, inoltre, i procedimenti sono corretti.

[Rigel1]

La tua è corretta.

[Piffuz88]

Grazie

[j18eos]

Prego, di nulla!