Integrale di linea di II specie
Salve, propongo il calcolo di un integrale di linea di II specie, in quanto ho un dubbio.
L'integrale è il seguente:
$int_Cx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dx+y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dy+z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dz$ con $C$ pari al segmento che unisce i punti $(0,4,3)$ e $(2,2,1)$. Per risolvere l'esercizio, ho fatto ricorso al differenziale esatto, che si vede facilmente essere soddisfatto dalla funzione $f(x,y,z)=-1/sqrt(x^2+y^2+z^2)$. Ho dunque calcolato la differenza tra $f(2,2,1)$ e $f(0,4,3)$, solo che verrebbe: $U=-1/3+1/sqrt17+c$ ma anche $U=1/3-1/sqrt17+c$ quindi sono validi tutti e due per esprimere il valore del potenziale, o solo uno dei due?
L'integrale è il seguente:
$int_Cx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dx+y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dy+z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)dz$ con $C$ pari al segmento che unisce i punti $(0,4,3)$ e $(2,2,1)$. Per risolvere l'esercizio, ho fatto ricorso al differenziale esatto, che si vede facilmente essere soddisfatto dalla funzione $f(x,y,z)=-1/sqrt(x^2+y^2+z^2)$. Ho dunque calcolato la differenza tra $f(2,2,1)$ e $f(0,4,3)$, solo che verrebbe: $U=-1/3+1/sqrt17+c$ ma anche $U=1/3-1/sqrt17+c$ quindi sono validi tutti e due per esprimere il valore del potenziale, o solo uno dei due?
Risposte
Scusa, ma da dove esce il cambio segno? E cos'è $c$?
"gugo82":
Scusa, ma da dove esce il cambio segno? E cos'è $c$?
Sì giusto scusa, c non c'è, essendo l'integrale definito: svista mia. Il cambio non è che ho il cambio di segno è che avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?
"umbe":
avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?
Assolutamente no, hai $3$ e $\sqrt{17}$.
"Mephlip":
[quote="umbe"]avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?
Assolutamente no, hai $3$ e $\sqrt{17}$.[/quote]
Ma volendo il potenziale potrei averlo negativo, come mai no?
Sto guardando ora il dominio: è $RR^3-{O=(0,0,0)}$ che però non è semplicemente connesso...
"umbe":
Ma volendo il potenziale potrei averlo negativo, come mai no?
Non è corretta l'operazione matematica che hai effettuato, non stai risolvendo un'equazione; la radice quadrata di $9$ è $3$, così come $\sqrt{17}$ rimane $\sqrt{17}$ senza $\pm$.
"umbe":
Sto guardando ora il dominio: è $RR^3-{O=(0,0,0)}$ che però non è semplicemente connesso...
$\mathbb{R}^3$ privato di un punto è semplicemente connesso, non lo è se lo priviamo di una retta; non ci sono analogie identiche di ragionamento al caso di $\mathbb {R}^2$.
"Mephlip":
[quote="umbe"]Ma volendo il potenziale potrei averlo negativo, come mai no?
Non è corretta l'operazione matematica che hai effettuato, non stai risolvendo un'equazione; la radice quadrata di $9$ è $3$, così come $\sqrt{17}$ rimane $\sqrt{17}$ senza $\pm$.
"umbe":
Sto guardando ora il dominio: è $RR^3-{O=(0,0,0)}$ che però non è semplicemente connesso...
$\mathbb{R}^3$ privato di un punto è semplicemente connesso, non lo è se lo priviamo di una retta; non ci sono analogie identiche di ragionamento al caso di $\mathbb {R}^2$.[/quote]
$RR^2$ senza un punto tipo l'origine, non è semplicemente connesso, perché $RR^3$ meno un punto è semplicemente connesso?
Dipende da che spiegazione vuoi, se intuitiva o rigorosa.
Quanto ne sai di topologia?
Quanto ne sai di topologia?
"Mephlip":
Dipende da che spiegazione vuoi, se intuitiva o rigorosa.
Quanto ne sai di topologia?
Eheh, non troppo, sto approfondendo per conto mio la cosa. Dai, facciamo intuitiva, perché so che la spiegazione formale di dominio semplicemente connesso, che non ricordo, è alquanto tortuosa.
Qui, a parer mio, è spiegato intuitivamente molto bene se pensi informalmente il punto come una sferetta 
viewtopic.php?f=36&t=139197
viewtopic.php?f=36&t=139197
"umbe":
[quote="gugo82"]Scusa, ma da dove esce il cambio segno? E cos'è $c$?
Sì giusto scusa, c non c'è, essendo l'integrale definito: svista mia. Il cambio non è che ho il cambio di segno è che avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?[/quote]
Tempo fa (si parlava, impropriamente, di equazioni) ti ho detto di andarti a ripassare le basi.
Questo consiglio è ancora la migliore cosa che posso suggerirti.
"gugo82":
[quote="umbe"][quote="gugo82"]Scusa, ma da dove esce il cambio segno? E cos'è $c$?
Sì giusto scusa, c non c'è, essendo l'integrale definito: svista mia. Il cambio non è che ho il cambio di segno è che avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?[/quote]
Tempo fa (si parlava, impropriamente, di equazioni) ti ho detto di andarti a ripassare le basi.
Questo consiglio è ancora la migliore cosa che posso suggerirti.[/quote]
Che testo consigli a tal proposito?
Questo asserto dovrebbe farti capire il significato di insieme semplicemente connesso: un insieme E si dice semplicemente connesso se
1) è connesso
2) ogni curva semplice, chiusa e interamente contenuta in E può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto, senza mai uscire da E.
ora chiediti come mai in E'=R2- (xo,yo) l'insieme non è semplicemente connesso mentre in E''=R3-(x0,y0,z0) l'insieme è semplicemente connesso(intuitivamente dovrebbe essere facile immaginarselo)
(ovviamente non è una definizione di insieme semplicemente connesso, che è più complicata ed esula dal corso di analisi matematica 2);
dopodichè, una volta appurato che la forma differenziale è chiusa e l'insieme è semplicemente connesso ==> la forma differenziale è esatta==> per definizione, esiste una funzione U tale che....
1) è connesso
2) ogni curva semplice, chiusa e interamente contenuta in E può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto, senza mai uscire da E.
ora chiediti come mai in E'=R2- (xo,yo) l'insieme non è semplicemente connesso mentre in E''=R3-(x0,y0,z0) l'insieme è semplicemente connesso(intuitivamente dovrebbe essere facile immaginarselo)
(ovviamente non è una definizione di insieme semplicemente connesso, che è più complicata ed esula dal corso di analisi matematica 2);
dopodichè, una volta appurato che la forma differenziale è chiusa e l'insieme è semplicemente connesso ==> la forma differenziale è esatta==> per definizione, esiste una funzione U tale che....
"df1ee5dd07489ec65c7a":
Questo asserto dovrebbe farti capire il significato di insieme semplicemente connesso: un insieme E si dice semplicemente connesso se
1) è connesso
2) ogni curva semplice, chiusa e interamente contenuta in E può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto, senza mai uscire da E.
ora chiediti come mai in E'=R2- (xo,yo) l'insieme non è semplicemente connesso mentre in E''=R3-(x0,y0,z0) l'insieme è semplicemente connesso(intuitivamente dovrebbe essere facile immaginarselo)
Ovviamente non è una definizione di insieme semplicemente connesso, che è più complicata ed esula dal corso di analisi matematica 2.
Sapevo il trucco del cordino da restringere, però sia che sono in due dimensioni, sia che sono in tre, se mi immagino un punto in cui la funzione non è ammessa, non mi immagino che riesca a ridurla ad un punto sul punto in cui non è ammessa.
"umbe":
[quote="df1ee5dd07489ec65c7a"]Questo asserto dovrebbe farti capire il significato di insieme semplicemente connesso: un insieme E si dice semplicemente connesso se
1) è connesso
2) ogni curva semplice, chiusa e interamente contenuta in E può essere ridotta mediante una deformazione continua ad un unico punto, senza mai uscire da E.
ora chiediti come mai in E'=R2- (xo,yo) l'insieme non è semplicemente connesso mentre in E''=R3-(x0,y0,z0) l'insieme è semplicemente connesso(intuitivamente dovrebbe essere facile immaginarselo)
Ovviamente non è una definizione di insieme semplicemente connesso, che è più complicata ed esula dal corso di analisi matematica 2.
Sapevo il trucco del cordino da restringere, però sia che sono in due dimensioni, sia che sono in tre, se mi immagino un punto in cui la funzione non è ammessa, non mi immagino che riesca a ridurla ad un punto sul punto in cui non è ammessa.[/quote]
del punto in cui non è definita la funzione non ti interessa, non esiste, che senso ha ridurre ad un punto la curva su un punto che non esiste?
"umbe":
[quote="gugo82"][quote="umbe"] Il cambio non è che ho il cambio di segno è che avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?
Tempo fa (si parlava, impropriamente, di equazioni) ti ho detto di andarti a ripassare le basi.
Questo consiglio è ancora la migliore cosa che posso suggerirti.[/quote]
Che testo consigli a tal proposito?[/quote]
Libro delle superiori...
O, se proprio vuoi usare un libro di AMI, il Pagani-Salsa seconda edizione.
"gugo82":
Libro delle superiori...
O, se proprio vuoi usare un libro di AMI, il Pagani-Salsa seconda edizione.
Bramanti ti sta proprio sui maroni eh?
"umbe":
[quote="gugo82"]
Libro delle superiori...
O, se proprio vuoi usare un libro di AMI, il Pagani-Salsa seconda edizione.
Bramanti ti sta proprio sui maroni eh?
[/quote]No, non lo conosco.
Però ho guardato il libro (il Bramanti, Pagani & Salsa lo usavano per un corso di Analisi I a cui facevo da esercitatore) e mi piace davvero pochissimo.
"Mephlip":
[quote="umbe"]avendo a denominatore $sqrt9$ e $sqrt17$ risolvendo le radici ho $\pm3$ e $\pmsqrt17$, no?
Assolutamente no, hai $3$ e $\sqrt{17}$.[/quote]
Ma sono solo io che non vedo alcuna $\sqrt{17}$?
Beh, $sqrt(17)$ c’è o non c’è... Ma che importa!
Quando si vede un errore ripugnante come $sqrt(9) = +-3$ questo eclissa tutto il resto.
Quando si vede un errore ripugnante come $sqrt(9) = +-3$ questo eclissa tutto il resto.
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