Integrale di linea a tre variabili
Avendo:
$f(x,y,z)=sqrt(y-x-1)+1/4(z-x)$
Trovare l'integrale di linea da $(0,2,2)$ a $(2,12,4)$.
Immagino che la prima cosa da fare sia parametrizzare, ma ahimè non riesco a muovermi su come parametrizzarla e su come stabilire i due estremi di integrazione.
$f(x,y,z)=sqrt(y-x-1)+1/4(z-x)$
Trovare l'integrale di linea da $(0,2,2)$ a $(2,12,4)$.
Immagino che la prima cosa da fare sia parametrizzare, ma ahimè non riesco a muovermi su come parametrizzarla e su come stabilire i due estremi di integrazione.
Risposte
Eh ma se non dici qual è questa curva $gamma$ si può fare poco
$alpha(t) = (t-1,t^2+t,t+1)$
Giusto, quindi niente parametrizzazione, dato che abbiamo già la curva parametrizzata!
Giusto, quindi niente parametrizzazione, dato che abbiamo già la curva parametrizzata!
Alla fine ho provato a risolverlo così, qualcuno può indicarmi se sia corretto o meno?
$alpha'(t)=(1,2t+1,1)$
$f(alpha(t)) = t+1/2$
$||alpha'(t)|| = sqrt(4t^2+4t+3)$
Per gli estremi di intefrazione dell'integrale di linea, avvendo i due punti li ho eguagliati a sistema con la parametrizzazione:
$\{(t-1=0),(t^2+t=2),(t+1=2):}$
Da qui per entrambi i punti ho ricavato $a=1,b=3$. Facendo l'integrale di linea:
$\int_{a}^{b} f(alpha(t))*||alpha'(t)|| dt$
$\int_{1}^{3} (t+1/2)(sqrt(4t^2+4t+3)) dt$
Che da come risultato $1/12(51sqrt(51)-11sqrt(11)) ~= 27$
$alpha'(t)=(1,2t+1,1)$
$f(alpha(t)) = t+1/2$
$||alpha'(t)|| = sqrt(4t^2+4t+3)$
Per gli estremi di intefrazione dell'integrale di linea, avvendo i due punti li ho eguagliati a sistema con la parametrizzazione:
$\{(t-1=0),(t^2+t=2),(t+1=2):}$
Da qui per entrambi i punti ho ricavato $a=1,b=3$. Facendo l'integrale di linea:
$\int_{a}^{b} f(alpha(t))*||alpha'(t)|| dt$
$\int_{1}^{3} (t+1/2)(sqrt(4t^2+4t+3)) dt$
Che da come risultato $1/12(51sqrt(51)-11sqrt(11)) ~= 27$
UP. Mi basta sapere se il procedimento è corretto
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