Integrale di lebesgue
Help me! Sono in panne con questo problema:
Una successioni di funzioni cosi definita è, secondo quanto definito dal prof. "chiaramente crescente": fn(x,y) = e^-(x^2+y^2) se (x^2+y^2)^1/2<=n, 0 altrimenti. Nella mia ignoranza io la definirei chiaramente decrescente al crescere di n, considerando la potenza negativa della funzione.
Dov'è l'inghippo?
Si tratta di un passaggio per dimostrare il metodo per estendere il calcolo degli integrali in domini non limitati, utilizzando il teorema della convergenza monotona.
Spero di essere stato abbestanza chiaro.
Grazie in anticipo, Nicola
Una successioni di funzioni cosi definita è, secondo quanto definito dal prof. "chiaramente crescente": fn(x,y) = e^-(x^2+y^2) se (x^2+y^2)^1/2<=n, 0 altrimenti. Nella mia ignoranza io la definirei chiaramente decrescente al crescere di n, considerando la potenza negativa della funzione.
Dov'è l'inghippo?
Si tratta di un passaggio per dimostrare il metodo per estendere il calcolo degli integrali in domini non limitati, utilizzando il teorema della convergenza monotona.
Spero di essere stato abbestanza chiaro.
Grazie in anticipo, Nicola
Risposte
"adrenalinico":
Help me! Sono in panne con questo problema:
Una successioni di funzioni cosi definita è, secondo quanto definito dal prof. "chiaramente crescente": fn(x,y) = e^-(x^2+y^2) se (x^2+y^2)^1/2<=n, 0 altrimenti. Nella mia ignoranza io la definirei chiaramente decrescente al crescere di n, considerando la potenza negativa della funzione.
Dov'è l'inghippo?
Si tratta di un passaggio per dimostrare il metodo per estendere il calcolo degli integrali in domini non limitati, utilizzando il teorema della convergenza monotona.
Spero di essere stato abbestanza chiaro.
Grazie in anticipo, Nicola
La successione $f_n$, definita come: $f_n(x,y) = e^-(x^2+y^2)$, se $(x^2+y^2)^{1/2}<=n$, e $0$ altrimenti, è una successione di funzioni debolmente crescente (in $n$).
Infatti per ogni $(x,y)$ l'unico cambio che può avvenire, al crescere di $n$, è che la funzione prima valeva $0$ e poi vale $e^-(x^2+y^2)$.
Ah, benvenuto
Innanzitutto grazie per la tempestività...è la prima volta che m'iscrivo ad un forum ed avevo qualche perplessità sulla sua efficacia ed invece sono stato felicemente smentito!
In quanto all'argomento...umh.....penso di avere qualche difficoltà con il concetto di successione di funzioni. Temo di non aver ancora capito... Ci rifletto un attimo su... Ciao
In quanto all'argomento...umh.....penso di avere qualche difficoltà con il concetto di successione di funzioni. Temo di non aver ancora capito... Ci rifletto un attimo su... Ciao
Ti consiglierei di disegnare qualche $f_n$.
Anzi, visto che non c'è differenza "fondamentale", potresti vedere cosa succede se hai una successione di funzioni definite su $RR$.
In altre parole, ti suggerirei di disegnare il grafico di $g_n$, per qualche $n$, dove: $g_n(x) = e^{-x^2}$, se $(x^2)^{1/2}<=n$ (ovvero, se $|x| \le n$), e $0$ altrimenti.
Anzi, visto che non c'è differenza "fondamentale", potresti vedere cosa succede se hai una successione di funzioni definite su $RR$.
In altre parole, ti suggerirei di disegnare il grafico di $g_n$, per qualche $n$, dove: $g_n(x) = e^{-x^2}$, se $(x^2)^{1/2}<=n$ (ovvero, se $|x| \le n$), e $0$ altrimenti.
Ho seguito il tuo consiglio...ci dovremmo quasi essere! Se nn ho fatto grossolani errori, quello che dovrebbe venir fuori è una "campana di Gauss". Al cresceredi n il grafico non varia di "quota" come intuitivamente mi aspetterei da una funzione crescente, ma si estende simmetricamente rispetto all'asse delle y riducendo di volta in volta la parte di dominio in cui fn vale zero, con "pezzi" in cui, anche se in modo sepre più infinitesimo, la fn è maggiore di 0. Quello che nn mi torna ancora, è che da quelle che sono le mie conoscenze dedurrei che è l'integrale su R della fn (o la serie) ad essere crescente, e nn la successione di funzioni. E' un errore concettuale o sbaglio da quache altra parte?
Spero di nn abusare della tua disponibilità...
Spero di nn abusare della tua disponibilità...
"adrenalinico":per forza
Ho seguito il tuo consiglio...ci dovremmo quasi essere!
"adrenalinico":esatto, proprio così
Se nn ho fatto grossolani errori, quello che dovrebbe venir fuori è una "campana di Gauss". Al cresceredi n il grafico non varia di "quota" come intuitivamente mi aspetterei da una funzione crescente, ma si estende simmetricamente rispetto all'asse delle y riducendo di volta in volta la parte di dominio in cui fn vale zero, con "pezzi" in cui, anche se in modo sepre più infinitesimo, la fn è maggiore di 0.
"adrenalinico":Senz'altro l'integrale è crescente.
Quello che nn mi torna ancora, è che da quelle che sono le mie conoscenze dedurrei che è l'integrale su R della fn (o la serie) ad essere crescente, e nn la successione di funzioni. E' un errore concettuale o sbaglio da quache altra parte?
Spero di nn abusare della tua disponibilità...
Ma anche la successione lo è. E' una successione strana, ma debolmente crescente.
Ad esempio, $f_n(7.4)=0$ per $n=1,2,\ldots,7$ e $f_n(7.4)=e^{-(7.4)^2}$ per $n \ge 8$
In effetti, cambia valore solo una volta, mentre prima e poi è costante (rispetto ad $n$).
ok! Ora è tutto chiaro. Ineffetti io confondevo il concetto di "funzione crescente" nel senso della variabile indipendente dal concetto di successione di funzioni crescente nel senso della n. Giustamente bisogna tener conto di tutti i valori che la funzione assume complessivamente nel dominio (che nn significa farne l'integrale) al variare di n. Grazie tante, ora posso continuare la mia sfida!
Ciao
Ciao
si può leggere anche come dimostrazione del fatto che le lo spazio delle funzioni definitivamente nulle non è chiuso nello spazio delle funzioni continue
"ubermensch":
si può leggere anche come dimostrazione del fatto che le lo spazio delle funzioni definitivamente nulle non è chiuso nello spazio delle funzioni continue
Ciao Uber, piacere di conoscerti!
Uhm....confesso di non averci capito granchè...
ciao, piacere anche per me.
Nel senso che se pensi allo spazio delle funzioni definitivamente nulle (tecnicamente si dice "a supporto compatto) con la metrica uniforme (quella che stai usando), questo spazio non è completo, nel senso che esistono successioni di Cauchy che non convergono. Un esempio è appunto quello: puoi costruire una successione di funzioni a supporto compatto che convergono alla gaussiana che non ha supporto compatto.
Nel senso che se pensi allo spazio delle funzioni definitivamente nulle (tecnicamente si dice "a supporto compatto) con la metrica uniforme (quella che stai usando), questo spazio non è completo, nel senso che esistono successioni di Cauchy che non convergono. Un esempio è appunto quello: puoi costruire una successione di funzioni a supporto compatto che convergono alla gaussiana che non ha supporto compatto.
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