Integrale di forma differenziale non esatta.
Buongiorno a tutti! Ho qualche dubbio sullo svolgimento del seguente esercizio:
Si consideri la forma differenziale $w=(3x+y)/(x^2+y^2)dx-(x-3y)/(x^2+y^2)dy$ e sia $\Gamma$ la spezzata avente vertici nei punti A=(1,0),B=(-1,-1),C=(-2,2),D=(-3/2,0),E=(-1,1/2),F=(1/2,3/2),G=A e percorsa in senso orario. Calcolare $\int_{Gamma} w$ giustificando il procedimento.
Prima di tutto, ho verificato che non si tratta di una forma differenziale esatta, in quanto $w$ è chiusa, ma $R^2-{(0,0)}$ non è semplicemente connesso e il potenziale locale trovato non è definito su tutto il dominio di $w$ (ma solo su $R^2-{(x,0),(0,0)}$).
A questo punto ho parametrizzato i sei segmenti che compongono la spezzata: AB=(1-2t,-t),BC=(-1-t,-1+3t),CD=(-2+1/2t,2-2t),DE=(-3/2+1/2t,1/2t),EF=(-1+3/2t,1/2+t),FA=(1/2+1/2t,3/2-3/2t), con t compreso tra 0 e1; ho calcolato gli integrali di $w$ lungo tali segmenti (calcolando $\int_ 0^1 w(t) dt$ per ogni segmento) e, infine, li ho sommati.
Questo procedimento, però, è risultato molto calcoloso (integrali fattibili, ma non proprio semplici..!) e mi chiedevo se esistesse un metodo migliore, più veloce in fatto di conti.
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto.
Si consideri la forma differenziale $w=(3x+y)/(x^2+y^2)dx-(x-3y)/(x^2+y^2)dy$ e sia $\Gamma$ la spezzata avente vertici nei punti A=(1,0),B=(-1,-1),C=(-2,2),D=(-3/2,0),E=(-1,1/2),F=(1/2,3/2),G=A e percorsa in senso orario. Calcolare $\int_{Gamma} w$ giustificando il procedimento.
Prima di tutto, ho verificato che non si tratta di una forma differenziale esatta, in quanto $w$ è chiusa, ma $R^2-{(0,0)}$ non è semplicemente connesso e il potenziale locale trovato non è definito su tutto il dominio di $w$ (ma solo su $R^2-{(x,0),(0,0)}$).
A questo punto ho parametrizzato i sei segmenti che compongono la spezzata: AB=(1-2t,-t),BC=(-1-t,-1+3t),CD=(-2+1/2t,2-2t),DE=(-3/2+1/2t,1/2t),EF=(-1+3/2t,1/2+t),FA=(1/2+1/2t,3/2-3/2t), con t compreso tra 0 e1; ho calcolato gli integrali di $w$ lungo tali segmenti (calcolando $\int_ 0^1 w(t) dt$ per ogni segmento) e, infine, li ho sommati.
Questo procedimento, però, è risultato molto calcoloso (integrali fattibili, ma non proprio semplici..!) e mi chiedevo se esistesse un metodo migliore, più veloce in fatto di conti.
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao. Credo che troverai le tue risposte se rivedi il teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
Scusa Paolo, potresti spiegarmi meglio per favore? Ho riguardato il teorema di cui parli, ma nel mio caso la forma differenziale non e' esatta, o sbaglio?
Grazie!
Grazie!
Ho provato a procedere in modo diverso per verificare che la forma differenziale non e' esatta.
Il teorema di caratterizzazione delle forme esatte asserisce che dire che una forma è esatta equivale a dire che lungo un qualsiasi percorso chiuso il suo integrale curvilineo vale 0. Ho provato, quindi, a calcolare l'integrale curvilineo sulla curva [cos t, sin t] con t ∈ [0, 2π]:
$\int_{gamma} ω dt$ = $\int_0^(2pi) a(x(t),y(t))x′(t)+b(x(t),y(t))y′(t) dt$=$-2\pi$
Dunque, la forma differenziale non e' esatta! Il ragionamento che faccio e' corretto?
Il teorema di caratterizzazione delle forme esatte asserisce che dire che una forma è esatta equivale a dire che lungo un qualsiasi percorso chiuso il suo integrale curvilineo vale 0. Ho provato, quindi, a calcolare l'integrale curvilineo sulla curva [cos t, sin t] con t ∈ [0, 2π]:
$\int_{gamma} ω dt$ = $\int_0^(2pi) a(x(t),y(t))x′(t)+b(x(t),y(t))y′(t) dt$=$-2\pi$
Dunque, la forma differenziale non e' esatta! Il ragionamento che faccio e' corretto?
Nessun suggerimento? Ho pensato quest'altra cosa: la forma differenziale e' esatta per y>0 e per y<0, dunque nei segmenti di estremi con y diverso da zero potrei utilizzare il potenziale trovato...ma per gli altri? ..e' una cosa fattibile?
Grazie a chi sapra' aiutarmi!
Anna
Grazie a chi sapra' aiutarmi!
Anna
Penso che quest'ultimo sia il modo migliore per procedere. Questa forma differenziale è dotata di primitive, solo che esse sono solo locali, infatti non sono definite ovunque ma solo nel piano privato di una semiretta. Questo significa però che ognuno di quei segmenti giace in una regione in cui la forma differenziale ammette una primitiva e quindi l'integrale si può calcolare facilmente.
Ad esempio mi pare che la funzione
\[F(x, y)=\log\left[ (x^2+y^2)^{3/2}\right] - \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\]
sia una primitiva valida per \(x \ne 0\). Le altre primitive saranno simili a questa a patto di modificare un po' quella arcotangente, ma questi conti li lascio a te.
@Paolo: Cosa c'entra il teorema di caratterizzazione delle forme esatte? Non è la prima volta che dai suggerimenti fuorvianti, confondendo le idee alla gente. O non dici nulla oppure scrivi chiaramente che quanto dici è una tua supposizione e va presa col beneficio del dubbio, ma assolutamente evita di assumere l'atteggiamento del maestrino senza averne le competenze. Grazie.
Ad esempio mi pare che la funzione
\[F(x, y)=\log\left[ (x^2+y^2)^{3/2}\right] - \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\]
sia una primitiva valida per \(x \ne 0\). Le altre primitive saranno simili a questa a patto di modificare un po' quella arcotangente, ma questi conti li lascio a te.
@Paolo: Cosa c'entra il teorema di caratterizzazione delle forme esatte? Non è la prima volta che dai suggerimenti fuorvianti, confondendo le idee alla gente. O non dici nulla oppure scrivi chiaramente che quanto dici è una tua supposizione e va presa col beneficio del dubbio, ma assolutamente evita di assumere l'atteggiamento del maestrino senza averne le competenze. Grazie.
Grazie per la risposta dissonance, pero' mi rimane qualche dubbio..la primitiva che hai trovato non e' valida in x>0 e x<0 (e non y>0..)? In questo caso effettivamente i segmenti giacciono tutti in regioni in cui la forma differenziale ammette primitiva (che, tra l'altro, a me sembra essere valida (sempre lei stessa!) sia per il semipiano positivo sia per quello negativo delle x). In realta' io come primitiva (potenziale) avevo trovato $F(x,y)=log[(x^2+y^2)^(3/2)] + arctan(x/y)$ che vale solo per le y>0 e per le y<0..pero' nel mio caso si pone il problema che alcuni segmenti hanno estremi con y=0 e quindi non saprei come muovermi..potresti, per favore, spiegarmi meglio? Grazie!
Hai ragione riguardo \(x\ne 0\), naturalmente. Ho corretto. L'altra funzione che hai scritto è un'altra primitiva, valida stavolta per \(y \ne 0\). Ora vedo che l'esercizio ci frega perché il primo segmento attraversa sia l'asse delle \(x\) sia l'asse delle \(y\) e quindi non possiamo usare nessuna delle due, ce ne dobbiamo inventare un'altra, fatta in modo tale da essere definita su tutto il primo segmento.
Questo è certamente fattibile, ma io preferirei farmi furbo e cambiare sistema di coordinate per vedere meglio la situazione. Infatti, passando a coordinate polari mediante questa sostituzione:
\[\begin{cases} x=\rho \cos \theta & dx=\cos (\theta)\, d \rho - \rho \sin(\theta)\, d\theta \\
y=\rho \sin \theta & dy=\sin(\theta)\, d\rho+\rho \cos(\theta)\, d\theta
\end{cases}\]
la forma differenziale data assume l'espressione
\[\frac{3}{\rho}\, d\rho - d\theta, \]
e quindi una primitiva è la funzione
\[f(\rho, \theta)=\log \left(\rho^3\right)-\theta.\]
Sembra che la forma differenziale sia esatta, ma in realtà non lo è perché come sai la coordinata \(\theta\) non è definita su tutto il piano, bisogna sempre tagliare via una semiretta (Di solito si taglia via il semiasse negativo delle \(x\), assumendo \(\theta \in (-\pi, \pi)\), oppure il semiasse positivo delle \(x\), assumendo \(\theta \in (0, 2\pi)\)).
Con questo approccio puoi risolvere il problema con poca fatica e praticamente senza conti: provaci, se ti va. Se invece questo approccio non ti soddisfa dovremo tornare in coordinate cartesiane e cercare di trovare una primitiva valida su tutto il primo segmento.
In ogni caso mi pare che il risultato sia \(-2\pi\).
Questo è certamente fattibile, ma io preferirei farmi furbo e cambiare sistema di coordinate per vedere meglio la situazione. Infatti, passando a coordinate polari mediante questa sostituzione:
\[\begin{cases} x=\rho \cos \theta & dx=\cos (\theta)\, d \rho - \rho \sin(\theta)\, d\theta \\
y=\rho \sin \theta & dy=\sin(\theta)\, d\rho+\rho \cos(\theta)\, d\theta
\end{cases}\]
la forma differenziale data assume l'espressione
\[\frac{3}{\rho}\, d\rho - d\theta, \]
e quindi una primitiva è la funzione
\[f(\rho, \theta)=\log \left(\rho^3\right)-\theta.\]
Sembra che la forma differenziale sia esatta, ma in realtà non lo è perché come sai la coordinata \(\theta\) non è definita su tutto il piano, bisogna sempre tagliare via una semiretta (Di solito si taglia via il semiasse negativo delle \(x\), assumendo \(\theta \in (-\pi, \pi)\), oppure il semiasse positivo delle \(x\), assumendo \(\theta \in (0, 2\pi)\)).
Con questo approccio puoi risolvere il problema con poca fatica e praticamente senza conti: provaci, se ti va. Se invece questo approccio non ti soddisfa dovremo tornare in coordinate cartesiane e cercare di trovare una primitiva valida su tutto il primo segmento.
In ogni caso mi pare che il risultato sia \(-2\pi\).
Ciao. Si infatti è proprio come dici, il teorema ti dice che se una forma è esatta allora l'integrale su una qualsiasi curva chiusa è $0$, la tua forma però non è esatta in alcune regioni del piano come ti ha già detto dissonance quindi non vedo altra strada che parametrizzare tutti i segmenti della spezzata e calcolare gli integrali, oppure seguire il consiglio di dissonance che sembra molto più semplice.
@dissonance: Scusa dissonance, era un suggerimento non molto limpido, ma ora ho chiarito cosa intendevo. Assolutamente hai frainteso, qui sono il primo a voler imparare, quindi assolutamente non credo di essere un "maestrino". Se così sono sembrato chiedo scusa ma è assolutamente un equivoco
!
@dissonance: Scusa dissonance, era un suggerimento non molto limpido, ma ora ho chiarito cosa intendevo. Assolutamente hai frainteso, qui sono il primo a voler imparare, quindi assolutamente non credo di essere un "maestrino". Se così sono sembrato chiedo scusa ma è assolutamente un equivoco
!
Vi ringrazio per l'aiuto! Pero' vorrei capire un po' meglio: ho provato a seguire la strada da te proposta, dissonance, ma quando vado a calcolare gli integrali tramite il potenziale valutato negli estremi dei segmenti, questi ultimi vanno trasformati con la stessa tecnica della forma differenziale, giusto? Cioe', devo trovare $\rho$ e $\theta$ tali che $x=rhocos(theta)$ e $y=rhosin(theta)$ per ogni estremo, e' corretto? ..in questo caso avrei qualche problema con i punti E ed F..e non capisco come abbia fatto a venirti un risultato cosi' "semplice"..
In secondo luogo, se io volessi trovare un'altra primitiva valida per tutti i segmenti (tornando in coordinate cartesiane), in che modo dovrei procedere? Le pritive non sono sempre le due che abbiamo trovato inizialmente, a meno di una costante? Di solito per trovare una primitiva io calcolo l'integrale di $F_x$ e derivo quello che ho ottenuto rispetto y per trovare la funzione g(y)..non so se mi sono spiegata bene..
In secondo luogo, se io volessi trovare un'altra primitiva valida per tutti i segmenti (tornando in coordinate cartesiane), in che modo dovrei procedere? Le pritive non sono sempre le due che abbiamo trovato inizialmente, a meno di una costante? Di solito per trovare una primitiva io calcolo l'integrale di $F_x$ e derivo quello che ho ottenuto rispetto y per trovare la funzione g(y)..non so se mi sono spiegata bene..
Era proprio questo che intendevo quando ti ho detto che ci sono due metodi. Tuttavia non so se questo procedimento sia giusto perchè la tua forma differenziale ammette primitive solo in alcune regioni del dominio. Direi di aspettare che qualcuno più esperto ti risponda.
Up!
Ti ha già risposto dissonance; provo con altre parole.
Poiché la forma è chiusa in \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), il suo integrale lungo una qualsiasi curva chiusa che compia un giro in senso orario attorno all'origine non dipende dalla scelta della curva stessa (questo risultato discende dalle formule di Gauss-Green).
Di conseguenza, puoi sostituire la spezzata con la circonferenza unitaria (o di qualsiasi altro raggio) percorsa una volta in senso orario, ottenendo lo stesso risultato.
Poiché la forma è chiusa in \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), il suo integrale lungo una qualsiasi curva chiusa che compia un giro in senso orario attorno all'origine non dipende dalla scelta della curva stessa (questo risultato discende dalle formule di Gauss-Green).
Di conseguenza, puoi sostituire la spezzata con la circonferenza unitaria (o di qualsiasi altro raggio) percorsa una volta in senso orario, ottenendo lo stesso risultato.
Grazie Rigel! Ma questa cosa io posso farla anche se la forma non e' globalmente esatta? Perche' io sapevo che valeva solo nel caso di forme differenziali esatte..scusa se insisto, ma vorrei capire a fondo!
Se la forma è esatta l'integrale su ogni curva chiusa è nullo (dunque non c'è niente da calcolare).
In questo caso non è nullo (vale \(-2\pi\)), ma è lo stesso per ogni curva chiusa che faccia un solo giro in senso orario attorno all'origine.
In questo caso non è nullo (vale \(-2\pi\)), ma è lo stesso per ogni curva chiusa che faccia un solo giro in senso orario attorno all'origine.
"_annina_":Se una forma differenziale è chiusa e due curve chiuse nel suo insieme di definizione sono omotope allora gli integrali della forma sulle due curve sono uguali:
Grazie Rigel! Ma questa cosa io posso farla anche se la forma non e' globalmente esatta? Perche' io sapevo che valeva solo nel caso di forme differenziali esatte..scusa se insisto, ma vorrei capire a fondo!
post444685.html#p444685
Quindi questa suggerita da Rigel è un'altra maniera di procedere che in effetti ti potrebbe risparmiare il ricorso alle coordinate polari.
Altrimenti ti basta osservare che, nel compiere un giro completo attorno all'origine, la "primitiva" (virgolettato perché non è una vera primitiva globale, a causa della discontinuità della coordinata \(\theta\) di cui parlavamo in precedenza)
\[f(\rho, \theta)=\log(\rho^3)-\theta\]
compie un salto di \(-2\pi\). Se non ti fidi puoi fare il conto con le mani: prendi le coordinate polari \((\rho_i, \theta_i)\) degli estremi dei segmenti e calcola le varie differenze \(f(\rho_{i+1}, \theta_{i+1})-f(\rho_i, \theta_i)=\int_{\text{i-esimo segmento}}\omega\). Quindi somma il tutto.
Ok, adesso ho capito! Grazie mille a entrambi! 
Ciao! Scusate se riapro il topic, ma mi e' sorto un dubbio su un esercizio simile.
Il testo dice: e' data la forma differenziale $w=(3x-7y+y/(x^2+y^2))dx+(6y-7x-x/(x^2+y^2))$ e la circonferenza $Gamma$ con centro in (-1,1) e raggio r, diverso da $sqrt2$, percorsa in senso antiorario. Stabilire se esiste e, in caso affermativo, calcolare $lim_{r\to\sqrt2}int_Gamma w$.
Anche in questo caso posso applicare il teorema per cui se una forma differenziale è chiusa e due curve chiuse nel suo insieme di definizione sono omotope allora gli integrali della forma sulle due curve sono uguali? Perche' ho provato a calcolare l'integrale sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio r e viene che per ogni raggio l'integrale e' pari a $-2pi$, ma non mi convince molto.. Ho provato anche a calcolare $int w(theta)dtheta$ ma ottengo un integrale che non riesco a risolvere, cioe':
$int_0^2pi (r(costheta-sintheta)-r^2)/(2+r^2+2r(sintheta-costheta))$
Avete qualche suggerimento?
Grazie!
Il testo dice: e' data la forma differenziale $w=(3x-7y+y/(x^2+y^2))dx+(6y-7x-x/(x^2+y^2))$ e la circonferenza $Gamma$ con centro in (-1,1) e raggio r, diverso da $sqrt2$, percorsa in senso antiorario. Stabilire se esiste e, in caso affermativo, calcolare $lim_{r\to\sqrt2}int_Gamma w$.
Anche in questo caso posso applicare il teorema per cui se una forma differenziale è chiusa e due curve chiuse nel suo insieme di definizione sono omotope allora gli integrali della forma sulle due curve sono uguali? Perche' ho provato a calcolare l'integrale sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio r e viene che per ogni raggio l'integrale e' pari a $-2pi$, ma non mi convince molto.. Ho provato anche a calcolare $int w(theta)dtheta$ ma ottengo un integrale che non riesco a risolvere, cioe':
$int_0^2pi (r(costheta-sintheta)-r^2)/(2+r^2+2r(sintheta-costheta))$
Avete qualche suggerimento?
Grazie!
MA la circonferenza di centro \((0, 0)\) e la circonferenza di centro \((1, 1)\) non possono certo essere omotope nell'insieme di definizione di \(\omega\), ovvero \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\). La prima avvolge il "buco", la seconda no.
Chiaramente hai ragione! Sono una babba! Nel frattempo ho provato a ragionare in un altro modo. Ho calcolato il potenziale di $w$, che risulta essere $3/2 x^2 -7xy +atan(x/y) +3y^2$ e, dato che e' definito su $R^2-{(x,0)}$ ho pensato che per le circonferenze di raggio minore di 1 la forma e' esatta...poi da qui sono totalmente persa...La forma differenziale e' chiusa, la curva di integrazione (circonferenza) e' chiusa, quindi l'integrale della forma differenziale dovrebbe essere zero per le circonferenze di raggio minore di uno. Ma credo di trovarmi in un vicolo cieco.. 
Macché, invece hai finito. E non occorreva neanche fare il conto esplicito di un potenziale (non dire mai "il potenziale", perché come sai esso non è mai unico). Infatti, essendo chiusa, \(\omega\) di sicuro è esatta in ogni sottoinsieme aperto e semplicemente connesso nel suo dominio, quindi in particolare è esatta nella regione \(\{(\rho, \theta)\mid -\pi/2<\theta <3/4 \pi\}\). Tutte le circonferenze \(\Gamma(r),\ 0
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