Integrale di forma differenziale non esatta.

[_annina_11]

Buongiorno a tutti! Ho qualche dubbio sullo svolgimento del seguente esercizio:

Si consideri la forma differenziale $w=(3x+y)/(x^2+y^2)dx-(x-3y)/(x^2+y^2)dy$ e sia $\Gamma$ la spezzata avente vertici nei punti A=(1,0),B=(-1,-1),C=(-2,2),D=(-3/2,0),E=(-1,1/2),F=(1/2,3/2),G=A e percorsa in senso orario. Calcolare $\int_{Gamma} w$ giustificando il procedimento.

Prima di tutto, ho verificato che non si tratta di una forma differenziale esatta, in quanto $w$ è chiusa, ma $R^2-{(0,0)}$ non è semplicemente connesso e il potenziale locale trovato non è definito su tutto il dominio di $w$ (ma solo su $R^2-{(x,0),(0,0)}$).
A questo punto ho parametrizzato i sei segmenti che compongono la spezzata: AB=(1-2t,-t),BC=(-1-t,-1+3t),CD=(-2+1/2t,2-2t),DE=(-3/2+1/2t,1/2t),EF=(-1+3/2t,1/2+t),FA=(1/2+1/2t,3/2-3/2t), con t compreso tra 0 e1; ho calcolato gli integrali di $w$ lungo tali segmenti (calcolando $\int_ 0^1 w(t) dt$ per ogni segmento) e, infine, li ho sommati.

Questo procedimento, però, è risultato molto calcoloso (integrali fattibili, ma non proprio semplici..!) e mi chiedevo se esistesse un metodo migliore, più veloce in fatto di conti.

Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto.

[_annina_11]

Ah! Ma perche' hai preso proprio la regione con $-pi/2

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[dissonance]

Per la regione puoi prendere quella che vuoi, non è importante, basta che sia semplicemente connessa e contenga tutte le circonferenze \(\Gamma(r)\).

Il raggio, invece, è effettivamente un problema. Io l'ho preso più piccolo di \(\sqrt{2}\) ma è solo perché ho letto il testo di fretta: lui dice "\(r\) sia diverso da \(\sqrt{2}\)" e non "minore di \(\sqrt{2}\)". Quindi adesso occorre calcolare

\[\int_{\Gamma(r)}\omega\]

per \(r > \sqrt{2}\). Qua allora conviene usare il teorema di Cauchy di invarianza per omotopia e osservare che una circonferenza di centro \((1, 1)\) e raggio \(r>\sqrt{2}\) è omotopa in \(\mathbb{R}^2\setminus (0,0)\) alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1.

[_annina_11]

E quindi si torna a quello che ho scritto prima, cioe' l'integrale della forma differenziale calcolato lungo qualsiasi circonferenza di raggio $r>sqrt2$ e' sempre uguale a $-2pi$. Dunque, se considero l'integrale nel caso $0

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[dissonance]

"_annina_":A me verrebbe da dire che non esiste...

Pure a me.