Integrale di dominio con modulo
ciao non riesco a impostare questo integrale
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
Risposte
ma scusa...l'integrale è il volume di un solido...dove la base è costituita dall'insieme di integrazione....una volta spezzato in due otterrai due volumi da sommare, ciascuno su metà della base, ovvero su metà dell'insieme di integrazione...non da moltiplicare come fai tu, su tutto il dominio, fra l'altro.....
se vuoi fai pure un po' di conti così ti rendi conto....
hai scritto $int_(-pi/4)^(pi/4)sen theta cos theta d theta$??? che fa ZERO
hai scritto $int_(-pi/4)^(pi/4)sen theta cos theta d theta$??? che fa ZERO
"fedexxxx":
sin(-pi/4) <0
cos(-pi/4) >0
sin(pi/4) >0
cos(pi/4) >0
quindi?
quindi
1) dove hanno segno discorde ovvero da $[-pi/4;0]$ ti studi l'integrale di $-senx cosx dx$
2) dove hanno segno concorde ovvero da $[0; pi/4]$ ti studi l'integrale di $senx cosx dx$
3) alla fine LI SOMMI!!!!
ora te la faccio io una domanda....di fronte ad un modulo...prima ne studi il segno e poi integri su tutto il dominio...ma allora cosa l'hai studiato a fare il segno?
"fedexxxx":
....
adesso so che avendo un modulo nel testo dell'integrale (|xy|) non posso considerare zone negative quindi simmetricamente calcolo 2 volte l'integrale da zero a pi/4.
questo l'hai scritto tu eh....ed è giusto! "calcolo 2 volte l'integrale da zero a $pi/4$" ed è ciò che ho fatto io....sommando gli integrali
"fedexxxx":
... se io non vedessi simmetrie dovrei calcolare questo integrale discutendo il modulo.
quindi avrei che \( |xy|=\pm xy \)
quindi il mio integrale sarà sempre calcolato da -pi/4 a pi/4 così
\( \int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} -rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta )*\int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta ) \)
guarda...giusto per capire il concetto...studia questo:
$int_(-1)^(1)|x|dx$ come faresti?
la procedura corretta è questa (senza usare le simmetrie)
$int_(-1)^(0)-xdx+int_(0)^(1)xdx=1/2+1/2=1$
oppure sfruttando le note proprietà di simmetria:
$2int_(0)^(1)xdx=2\cdot1/2=1$
se hai capito questo.....devi necessariamente capire anche l'integrale di questo topic.
Invece seguendo ciò che dici tu, avremmo:
$int_(-1)^(1)-xdx\cdotint_(-1)^(1)xdx=0\cdot0$
Provo a intervenire
Se devi fare l'integrale di un modulo... lo devi spezzare!
Lo spezzi in due integrali modificando gli estremi di integrazione
Un altro esempio: devi fare
$int_(-9)^0 |x+7| dx$
tu PRIMA di tutto fai la seguente cosa
$|x+7|=x+7$ se $x>=-7$
$|x+7|=-x-7$ se $x<-7$
quindi noti che la funzione ha un certo valore per $x>=-7$ e un altro valore per $x<-7$ e ne tieni conto... il tuo integrale si spezza in due e diventa semplicemente
$int_(-9)^(-7) (-x-7) dx + int_(-7)^0 (x+7) dx$
hai capito?
Se devi fare l'integrale di un modulo... lo devi spezzare!
Lo spezzi in due integrali modificando gli estremi di integrazione
Un altro esempio: devi fare
$int_(-9)^0 |x+7| dx$
tu PRIMA di tutto fai la seguente cosa
$|x+7|=x+7$ se $x>=-7$
$|x+7|=-x-7$ se $x<-7$
quindi noti che la funzione ha un certo valore per $x>=-7$ e un altro valore per $x<-7$ e ne tieni conto... il tuo integrale si spezza in due e diventa semplicemente
$int_(-9)^(-7) (-x-7) dx + int_(-7)^0 (x+7) dx$
hai capito?
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