Integrale di dominio con modulo
ciao non riesco a impostare questo integrale
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
Risposte
"fedexxxx":
ciao non riesco a impostare questo integrale
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
Premesso che il dominio non può essere una circonferenza, perché in tal caso l'integrale doppio sarebbe =0, senza fare alcun conto....probabilmente il dominio sarà il cerchio racchiuso nella circonferenza, circonferenza compresa o esclusa a seconda se la disuguaglianza è di tipo forte o debole, rispettivamente.
Inoltre manca anche il l'indicazione del centro della circonferenza (non devi dare per scontato che essa sia centrata nell'origine....)
Quindi, se, come immagino, il dominio fosse costituito dal cerchio racchiuso dalla circonferenza $x^2+y^2<=1$ e dalla disuguaglianza che hai scritto (e quell' asterisco fosse un comunissimo "per") allora l'integrale sarebbe $int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(pi/4)....drhod theta$
Come tu abbia trovato $-3/4pi$ proprio non riesco ad immaginarlo.....se me lo illustri.....
Ora basta spezzare la funzione integranda in due così:
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(0)-sinthetacosthetarho^4d rhod theta+int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sinthetacosthetarho^4d rhod theta=$
$=2int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sinthetacosthetarho^4d rhod theta$ per evidenti ragioni di simmetria....
ed il gioco è fatto
Ps: ho fatto i conti a mente, senza carta e penna....quindi ricontrolla....
per sbarazzarti del modulo della funzione integranda, basta osservare che l'insieme
\[\Omega:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\, |y|\le x\},\]
è simmetrico rispetto all'asse $x$ e che la funzione integranda è pari rispetto ad $y$ essendo
\[f(x,y)=f(x,-y),\]
pertanto sarà sufficiente considerare l'integrale
\[2\iint\limits_{\Omega^+} xy \sqrt{x^2+y^2}\,\, dxdy,\]
dove
\[\Omega^+:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\, 0\le y\le x\}.\]
\[\Omega:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\, |y|\le x\},\]
è simmetrico rispetto all'asse $x$ e che la funzione integranda è pari rispetto ad $y$ essendo
\[f(x,y)=f(x,-y),\]
pertanto sarà sufficiente considerare l'integrale
\[2\iint\limits_{\Omega^+} xy \sqrt{x^2+y^2}\,\, dxdy,\]
dove
\[\Omega^+:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 1,\,\, 0\le y\le x\}.\]
...che non mi pare diverso da quello che ho detto io...
"tommik":
[quote="fedexxxx"]ciao non riesco a impostare questo integrale
\( \int_{D}^{} (|xy|*\sqrt{x^2+y^2})\, dxdy \)
il dominio dell integrale è una circonferenza di r=1 e la condizione è \( |y|\leq x \)
ho stabilito che gli estremi di integrazione passando in polari sono da 0 ad 1 e da -3/4pi a pi/4
quello che non capisco è come impostare questo modulo.
Premesso che il dominio non può essere una circonferenza, perché in tal caso l'integrale doppio sarebbe =0, senza fare alcun conto....probabilmente il dominio sarà il cerchio racchiuso nella circonferenza, circonferenza compresa o esclusa a seconda se la disuguaglianza è di tipo forte o debole, rispettivamente.
Inoltre manca anche il l'indicazione del centro della circonferenza (non devi dare per scontato che essa sia centrata nell'origine....)
Quindi, se, come immagino, il dominio fosse costituito dal cerchio racchiuso dalla circonferenza $x^2+y^2<=1$ e dalla disuguaglianza che hai scritto (e quell' asterisco fosse un comunissimo "per") allora l'integrale sarebbe $int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(pi/4)....drhod theta$
Come tu abbia trovato $-3/4pi$ proprio non riesco ad immaginarlo.....se me lo illustri.....
Ora basta spezzare la funzione integranda in due così:
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(0)-sinthetacosthetarho^4d rhod theta+int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sinthetacosthetarho^4d rhod theta=$
$=2int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sinthetacosthetarho^4d rhod theta$ per evidenti ragioni di simmetria....
ed il gioco è fatto
Ps: ho fatto i conti a mente, senza carta e penna....quindi ricontrolla....[/quote]
sei sicuro che sia da -pi/4 a pi/4
se traccio la retta y=x dovro calcolare questa area di superficie o sbaglio?
sbagli
la tua condizione è $|y|<=x$.....o meglio...questa è la condizione che hai postato
quindi per $y>0$ ok ma per $y<0$ avrai $y>=-x$
e ciò ti quadra anche con il modulo dell'integranda...infatti nel I quadrante $|xy|$ diventa $xy$ mentre nel IV quadrante avrai che $|xy|=-xy$
Se poi sei più scaltro ti accorgi della evidente simmetria che ti ho indicato e che Noisemaker ti ha ben spiegato
e ciò ti quadra anche con il modulo dell'integranda...infatti nel I quadrante $|xy|$ diventa $xy$ mentre nel IV quadrante avrai che $|xy|=-xy$
Se poi sei più scaltro ti accorgi della evidente simmetria che ti ho indicato e che Noisemaker ti ha ben spiegato
ovvero così:
se qualche cosa non ti è chiara dillo...meglio dipanare subito i dubbi perché poi le cose si complicano...
"tommik":
quindi per $y>0$ ok ma per $y<0$ avrai $y=-x$
e ciò ti quadra anche con il modulo dell'integranda...infatti nel I quadrante $|xy|$ diventa $xy$ mentre nel IV quadrante avrai che $|xy|=-xy$
Se poi sei più scaltro ti accorgi della evidente simmetria che ti ho indicato e che Noisemaker ti ha ben spiegato
ok il primo errore lo capito ragionando cosi:
la mia condizione è che \( |y|\leq x \) questo equivale a dire che \( \pm y\leq x \)
ora traccio le rette y=x e -y=x e trovo le zone dove è verificata la disequazione \( \pm y\leq x \)
cioè nella zona che va da -pi/4 a pi/4.
fino a qui ok.
adesso so che avendo un modulo nel testo dell'integrale (|xy|) non posso considerare zone negative quindi simmetricamente calcolo 2 volte l'integrale da zero a pi/4.
non capisco però l'altro metodo. se io non vedessi simmetrie dovrei calcolare questo integrale discutendo il modulo.
quindi avrei che \( |xy|=\pm xy \)
quindi il mio integrale sarà sempre calcolato da pi/4 a pi/4 così
\( \int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} -rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta )*\int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta ) \)
"tommik":
se qualche cosa non ti è chiara dillo...meglio dipanare subito i dubbi perché poi le cose si complicano...
ok il primo errore lo capito ragionando cosi:
la mia condizione è che \( |y|\leq x \) questo equivale a dire che \( \pm y\leq x \)
ora traccio le rette y=x e -y=x e trovo le zone dove è verificata la disequazione \( \pm y\leq x \)
cioè nella zona che va da -pi/4 a pi/4.
fino a qui ok.
adesso so che avendo un modulo nel testo dell'integrale (|xy|) non posso considerare zone negative quindi simmetricamente calcolo 2 volte l'integrale da zero a pi/4.
non capisco però l'altro metodo. se io non vedessi simmetrie dovrei calcolare questo integrale discutendo il modulo.
quindi avrei che \( |xy|=\pm xy \)
quindi il mio integrale sarà sempre calcolato da pi/4 a pi/4 così
\( \int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} -rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta )*\int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta ) \)
"fedexxxx":
non capisco però l'altro metodo. se io non vedessi simmetrie dovrei calcolare questo integrale discutendo il modulo.
quindi avrei che \( |xy|=\pm xy \)
quindi il mio integrale sarà sempre calcolato da pi/4 a pi/4 così
\( \int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} -rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta )*\int_{0}^{1}\int_{-pi/4}^{pi/4} rcos\Theta rsin\Theta*r \, (rdrd\Theta ) \)
innanzi tutto dovresti calcolarlo senza usare le simmetrie, secondo me....il fatto di vedere la simmetria è un passaggio ulteriore che ti fa risparmiare tempo...in generale dovresti imparare a gestire il modulo in situazioni qualunque....vediamo come:
la funzione è
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(pi/4)|sin theta cos theta|rho^4drho d theta$
è evidente che $sin theta$ e $costheta$ hanno lo stesso segno da $[0;pi/4]$ mentre sono di segno opposto in $[-pi/4;0]$
sei d'accordo?
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(pi/4)|sin theta cos theta|rho^4drho d theta$
è evidente che $sin theta$ e $costheta$ hanno lo stesso segno da $[0;pi/4]$ mentre sono di segno opposto in $[-pi/4;0]$
sei d'accordo?
a questo punto puoi spezzare l'integrale in due diversi e, nell'intervallo dove $sen theta$ e $costheta$ sono di segno opposto (e quindi dove $sen theta costheta<0$, gli metti davanti un bel "meno" così stai apposto; ottieni quindi
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(0)-sen theta costheta rho^4 drho d theta+int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sen theta costheta rho^4 drho d theta$
gli integrali sono stupidissimi da risolvere in quanto separabili e quindi puoi risolvere separatamente
1) $intsen theta costheta d theta= int sen theta dsen theta= (sen^2theta)/2$
2) $int rho^4d rho= (rho^5)/5$
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(0)-sen theta costheta rho^4 drho d theta+int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sen theta costheta rho^4 drho d theta$
gli integrali sono stupidissimi da risolvere in quanto separabili e quindi puoi risolvere separatamente
1) $intsen theta costheta d theta= int sen theta dsen theta= (sen^2theta)/2$
2) $int rho^4d rho= (rho^5)/5$
"tommik":
a questo punto puoi spezzare l'integrale in due diversi, e nell'intervallo dove $sen theta$ e $costheta$ sono di segno opposto (e quindi dove $sen theta costheta<0$ gli metti davanti un bel "meno" così stai apposto; ottieni quindi
$int_(0)^(1)int_(-pi/4)^(0)-sen theta costheta rho^4 drho d theta+int_(0)^(1)int_(0)^(pi/4)sen theta costheta rho^4 drho d theta$
gli integrali sono stupidissimi da risolvere in quanto separabili e quindi puoi risolvere separatamente
si non ho problemi sulla risoluzione degli integrali ma mi frega "l'impostazione" dato che ho parecchie carenze di analisi 1 in questo caso sul senso e sulla discussione del modulo.
ho capito che \( |rcos\Theta rsin\Theta |=\pm rcos\Theta rsin\Theta \)
quindi ho capito che lintegrale di quel modulo va discusso come la somme di due integrali contenenti prima il - e poi il +
quello che continuo a non capire è perchè gli estremi di integrazione cambiano dopo la discussione del modulo.
partiamo dall'inizio: facciamo finta di dover studiare il seguente integrale
$int_(-pi/4)^(pi/4)|sen x cosx|dx$
prendiamo la funzione che ci interessa....
$|sen xcosx|$
e ne studiamo il segno nell'intervallo di interesse, ovvero $[-pi/4;pi/4]$
in che parte dell'intervallo la mia funzione $|sen xcosx|$ è positiva e in che parte è negativa?
$int_(-pi/4)^(pi/4)|sen x cosx|dx$
prendiamo la funzione che ci interessa....
$|sen xcosx|$
e ne studiamo il segno nell'intervallo di interesse, ovvero $[-pi/4;pi/4]$
in che parte dell'intervallo la mia funzione $|sen xcosx|$ è positiva e in che parte è negativa?
gli estremi non cambiano....solo che prima abbiamo un integrale in $[-pi/4;pi/4]$
dopo, una volta aver spezzato la funzione col modulo in due funzioni..(stavolta entrambe positive) avremo due integrali un in $[-pi/4;0]$ e l'altro in $[0;pi/4]$...ma l'unione dei due intervalli dà sempre l'intervallo iniziale.....
dopo, una volta aver spezzato la funzione col modulo in due funzioni..(stavolta entrambe positive) avremo due integrali un in $[-pi/4;0]$ e l'altro in $[0;pi/4]$...ma l'unione dei due intervalli dà sempre l'intervallo iniziale.....
sin(-pi/4) <0
cos(-pi/4) >0
sin(pi/4) >0
cos(pi/4) >0
quindi?
cos(-pi/4) >0
sin(pi/4) >0
cos(pi/4) >0
quindi?
"tommik":
gli estremi non cambiano....solo che prima abbiamo un integrale in $[-pi/4;pi/4]$
dopo, una volta aver spezzato la funzione col modulo in due funzioni..(stavolta entrambe positive) avremo due integrali un in $[-pi/4;0]$ e l'altro in $[0;pi/4]$...ma l'unione dei due intervalli dà sempre l'intervallo iniziale.....
non capisco perchè questo non è equivalente a quello che hai scritto tu
perché
$|xy|={{: ( xy , ;y>0 ),( -xy , ;y<0 ) :}$
e si può scrivere come somma, spezzando l'intervallo di definizione
(questo ovviamente per $x>=0$ perché questo è l'intervallo che ci interessa per il nostro integrale)
Tu perché ci metti il "per"?
$|xy|={{: ( xy , ;y>0 ),( -xy , ;y<0 ) :}$
e si può scrivere come somma, spezzando l'intervallo di definizione
(questo ovviamente per $x>=0$ perché questo è l'intervallo che ci interessa per il nostro integrale)
Tu perché ci metti il "per"?
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