Integrale delta di Dirac
Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da spiegarmi come si risolve un integrale
della delta di Dirac ?
esempio $int^(oo)_-oo &(t-2)dt$ dove la & sta per delta (non so come scriverlo).
Grazie
Ben
qualcuno potrebbe essere cosi' gentile da spiegarmi come si risolve un integrale
della delta di Dirac ?
esempio $int^(oo)_-oo &(t-2)dt$ dove la & sta per delta (non so come scriverlo).
Grazie
Ben
Risposte
ciao a tutti,
ma $\int_{R} f(1-y) \delta (dy)= f(1-y)$ oppure $f(y)$ ?
ma $\int_{R} f(1-y) \delta (dy)= f(1-y)$ oppure $f(y)$ ?
Nessuno dei due, direi, ma potrebbe essere un problema di notazione (che per me è strana).
Insomma, che vuol dire \(\int_{\mathbb{R}} f(1-y)\ \delta (\text{d} y)\)?
Se è il "classico" integrale della funzione \(f(1-y)\) contro la \(\delta\), allora dovresti saper dire subito quanto valga.
Insomma, che vuol dire \(\int_{\mathbb{R}} f(1-y)\ \delta (\text{d} y)\)?
Se è il "classico" integrale della funzione \(f(1-y)\) contro la \(\delta\), allora dovresti saper dire subito quanto valga.
$\delta(dy)$ e' ancora piu' divertente..
Beh no però è una notazione che ho letto spesso in testi molto rigorosi. Ad esempio sono sicuro che si usa la notazione
\[\int_\Omega f(y)\, \mu(dy), \]
sul libro di processi stocastici di Ikeda e Watanabe, di cui si può magari dire che è illeggibile, ma non che non è rigoroso!
\[\int_\Omega f(y)\, \mu(dy), \]
sul libro di processi stocastici di Ikeda e Watanabe, di cui si può magari dire che è illeggibile, ma non che non è rigoroso!
e' un orribile spreco di inchiostro.
Io trovo che questa dotazione si usi spessissimo, ed in molti testi di probabilità ho letto $P(d \omega)$, quindi non trovo ci sia molto di "divertente".
Riguardo il mio dubbio, mi è chiaro che
$\int_R f(y)\delta (x_0) = f(x_0)$ e
$\int_R f(y)\delta (dy) = f(y)$
(ci sono abusi di notazione?). Il fatto di avere $f(1-y)$ mi crea qualche problema, non capisco se l'integrale mi restituisce la funzione così com'è oppure no. Qualche aiuto?
Riguardo il mio dubbio, mi è chiaro che
$\int_R f(y)\delta (x_0) = f(x_0)$ e
$\int_R f(y)\delta (dy) = f(y)$
(ci sono abusi di notazione?). Il fatto di avere $f(1-y)$ mi crea qualche problema, non capisco se l'integrale mi restituisce la funzione così com'è oppure no. Qualche aiuto?
"salemgold":
Io trovo che questa dotazione si usi spessissimo, ed in molti testi di probabilità ho letto $P(d \omega)$, quindi non trovo ci sia molto di "divertente".
Riguardo il mio dubbio, mi è chiaro che
$\int_R f(y)\delta (dy) = f(y)$
(ci sono abusi di notazione?). Il fatto di avere $f(1-y)$ mi crea qualche problema, non capisco se l'integrale mi restituisce la funzione così com'è oppure no. Qualche aiuto?
Il problema è che quella notazione non si capisce.
Interpretando (come sembrerebbe naturale) il simbolo \(\int_{-\infty}^\infty f(y)\ \delta (\text{d} y)\) come il più diffuso \(\int_{-\infty}^\infty f(y)\ \delta (y)\ \text{d} y\) (notazione usata, con abuso, in ambito ingegneristico, ad esempio), l'integrale varrebbe \(f(0)\).
Ma tu affermi che \(\int_{-\infty}^\infty f(y)\ \delta (\text{d} y) =f(y)\), quindi tutto lascerebbe supporre che il simbolo \(\int_{-\infty}^\infty f(y)\ \delta (\text{d} y)\) debba essere un integrale di convoluzione...
Quindi, che significato dobbiamo assegnare al simbolo \(\int_{-\infty}^\infty f(y)\ \delta (\text{d} y)\)?
Si è vero, non si capisce.
Dunque, $\delta_x$ è la delta di dirac concentrata in $x\in R$. Da cui
$\int_R f(y) \delta_x(dy) = f(x) $ per ogni $x\in R$, ovvero un operatore che associa ad $f$ quell'integrale, è l'operatore identità.
Ora,
$\int_R f(1-y) \delta_x(dy) =? $
Dunque, $\delta_x$ è la delta di dirac concentrata in $x\in R$. Da cui
$\int_R f(y) \delta_x(dy) = f(x) $ per ogni $x\in R$, ovvero un operatore che associa ad $f$ quell'integrale, è l'operatore identità.
Ora,
$\int_R f(1-y) \delta_x(dy) =? $
Beh, a questo punto \(\int_{-\infty}^\infty f(1-y)\ \delta_x(\text{d} y) =f(1-x)\), no?
Per capirlo, basta chiamare \(f(1-x)=g(x)\) ed applicare la formula che mi hai dato sopra.
Per capirlo, basta chiamare \(f(1-x)=g(x)\) ed applicare la formula che mi hai dato sopra.
grazie,
mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua
mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua
Quindi in base a quanto detto mi date conferma che il seguente integrale :
$ int_(-pi )^(pi ) sen(2t)delta (-t+pi /2) dt $
vale $ sen(pi/2) $
$ int_(-pi )^(pi ) sen(2t)delta (-t+pi /2) dt $
vale $ sen(pi/2) $
E no. La delta seleziona solo il punto \(t=\pi/2\), quindi il risultato è \(\sin 2\frac\pi2=\sin\pi=0\).
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