Integrale del volume di una sfera

[tenebrikko]

salve a tutti! ho un piccolo dubbio... mi sono posto il quesito di calcolare il volume di una sfera di equazione $x^2+y^2+z^2= r^2$ però non mi viene il risultato sperato.. ottengo $8/3\pi r^3$! Il doppio! vi spiego come ho agito:
rispetto a r la funzione è $r= \sqrt(x^2+y^2+z^2)$ , la integro in questo modo:
$2\int_0^r(2\int_0^r(2\int_0^r \sqrt(x^2+y^2+z^2) dx)dy)dz$
i 2 sta per la simmetria, integro da 0 a r invece che da -r a r!
integrando rispetto x e y trovo $2\int_0^r 4\piz^2 dz$ che integrato trovo $8/3\pi r^3$.. dove sbaglio?? grazie!

[walter891]

perchè vuoi farlo in coordinate cartesiane quando quelle sferiche sono fatte apposta per le sfere?
non sono sicuro di quello che dico ma secondo me hai trovato il volume di un cubo perchè per la sfera non puoi dire che tutto varia tra $0$ ed $r$

[tenebrikko]

ho quasi capito l'errore ho integrato per sezioni quindi penso sia giusto farlo variare da 0 ad r, però quando ho supposto che l'integrale doppio rispetto x e y valeva $\piz^2$ mi sono dimenticato che questo risultato lo ottengo per x e y che variano tra -r ed r percui non moltiplico per 4 (2x2) e rimane solo il 2 esterno rispetto z.. ora mi viene la metà..