Integrale definito in valore assoluto
Salve, non riesco a capire perchè il seguente integrale faccia 5/2
\(\displaystyle \int |x-1|dx \) con intervallo di integrazione [0;3]
\(\displaystyle \int |x-1|dx \) con intervallo di integrazione [0;3]
Risposte
Tu che risultato proporresti anziché \(\frac 5 2\)?
proporrei 3/2, però considero la funzione integranda privata dal modulo, non so come fare col modulo...
Spezza il modulo nei due casi, poi spezza l'intervallo di integrazione.
mi verrebbe che se f(x)>0
\(\displaystyle \int x-1dx= x^2/2 - x \) calcolato da 0 a 3 \(\displaystyle = 3/2 \)
se f(x)<0:
\(\displaystyle \int -x+1dx= -x^2/2 + x \) calcolato da 0 a 3 \(\displaystyle = -3/2 \)
e poi?
\(\displaystyle \int x-1dx= x^2/2 - x \) calcolato da 0 a 3 \(\displaystyle = 3/2 \)
se f(x)<0:
\(\displaystyle \int -x+1dx= -x^2/2 + x \) calcolato da 0 a 3 \(\displaystyle = -3/2 \)
e poi?
No, non ci siamo capiti.
Se il tuo intervallo di integrazione è \(I\), allora ci sarà un \(I^+ \subseteq I\) su cui \(f(x) \ge 0\) ed un \(I^- \subseteq I\) su cui \(f(x) < 0\).
A questo punto puoi fare il passaggio
\[
\int_I |f(x)| \ dx = \int_{I^+} f(x) \ dx + \int_{I^-} -f(x) \ dx.
\]
Ok ora?
Se il tuo intervallo di integrazione è \(I\), allora ci sarà un \(I^+ \subseteq I\) su cui \(f(x) \ge 0\) ed un \(I^- \subseteq I\) su cui \(f(x) < 0\).
A questo punto puoi fare il passaggio
\[
\int_I |f(x)| \ dx = \int_{I^+} f(x) \ dx + \int_{I^-} -f(x) \ dx.
\]
Ok ora?
dunque secondo quanto da te indicato dovrei vedere l' intervallo in cui f(x) è positiva e l'intervallo in cui f(x) è negativa, quindi ho:
\(\displaystyle x-1>0 = x>1 \) che considerato il nostro intervallo di partenza, questo vale in \(\displaystyle [1;3] \)
d'altro canto ho:
\(\displaystyle -x+1>0 = x-1<0 -> x<1 \) che considerato il nostro intervallo di partenza, questo vale in \(\displaystyle [0;1] \)
impostando gli integrali come hai fatto tu ho:
\(\displaystyle \int x-1 dx \) calcolato in \(\displaystyle [1;3] + \int -x+1 dx\) calcolato in \(\displaystyle [0,1] \) il risultato viene quindi \(\displaystyle 4/2+1/2=5/2 \) giusto?
\(\displaystyle x-1>0 = x>1 \) che considerato il nostro intervallo di partenza, questo vale in \(\displaystyle [1;3] \)
d'altro canto ho:
\(\displaystyle -x+1>0 = x-1<0 -> x<1 \) che considerato il nostro intervallo di partenza, questo vale in \(\displaystyle [0;1] \)
impostando gli integrali come hai fatto tu ho:
\(\displaystyle \int x-1 dx \) calcolato in \(\displaystyle [1;3] + \int -x+1 dx\) calcolato in \(\displaystyle [0,1] \) il risultato viene quindi \(\displaystyle 4/2+1/2=5/2 \) giusto?
Finalmente, sì.
Grazie Mille, sei stato utilissimo! 
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