Integrale definito
[tex]\int_{-1}^{1}\frac{|e^x-1|}{e^{2x}+1}[/tex]
Ora penso che quando ci sia il valore assoluto bisogna distinguere i due casi...comunque ho pensato di procedere per sostituzione...
[tex]\frac{t-1}{t(t^2-1)}dt[/tex]
Risolvo il sistema e ottengo sorvolando sugli indici dell'integrale:
[tex]\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-t+1}{t^2-1}dt[/tex]
Ora il primo diventa [tex]\log(t)[/tex]
Per l'altro ho il problema al numeratore dell'1, perchè altrimenti potrei crearmi facilmente la derivata al numeratore.
Ma l'1 non lo posso isolare credo...perchè è una somma...e solo quando ho solamente una cosatante al numeratore, o che moltiplica posso isolarla se non erro.
Ora penso che quando ci sia il valore assoluto bisogna distinguere i due casi...comunque ho pensato di procedere per sostituzione...
[tex]\frac{t-1}{t(t^2-1)}dt[/tex]
Risolvo il sistema e ottengo sorvolando sugli indici dell'integrale:
[tex]\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-t+1}{t^2-1}dt[/tex]
Ora il primo diventa [tex]\log(t)[/tex]
Per l'altro ho il problema al numeratore dell'1, perchè altrimenti potrei crearmi facilmente la derivata al numeratore.
Ma l'1 non lo posso isolare credo...perchè è una somma...e solo quando ho solamente una cosatante al numeratore, o che moltiplica posso isolarla se non erro.
Risposte
Ma seguendo la seconda strada, devo separare il valore assoluto?
Io ho fatto così, separato il valore assoluto e cambiato gli estremi, sennl se non li cambio come lo scrivo l'integrale dato che il valore assoluto dipende dalla variabile...e poi risostituisco...
Io ho fatto così, separato il valore assoluto e cambiato gli estremi, sennl se non li cambio come lo scrivo l'integrale dato che il valore assoluto dipende dalla variabile...e poi risostituisco...
Il secondo metodo passa per un integrale indefinito, di cui non ha senso parlare estremi, per questo ti ho detto che non andava bene il tuo metodo, perché hai integrato tra -1 e 1, quando dovevi integrare indefinitivamente, o, se proprio volevi integrare, tra $1/e$ ed $e$.
Non è difficile, se vuoi fare l'integrale indefinito scordati degli estremi, fai le sostituzioni che vuoi, risolvilo, dopodiché risostituisci all'indietro tutte le variabili che hai risostituito, riportandoti a quella iniziale, poi riprendi gli estremi e fai $F(b)-F(a)$ come al solito.
Il metodo dell'integrale definito è più rapido. Sostituisci la variabile cambiando opportunamente gli estremi, risolvi il nuovo integrale definito, e una volta risolto sai che il risultato è lo stesso dell'integrale definito di partenza. Non c'è bisogno quindi di ricambiare variabili.
Detto questo, se devi risolvere un integrale indefinito dipendente dal modulo di t, penso di sì, puoi spezzarlo in una somma di due integrali indefiniti, uno per $t>0$ e uno per $t<=0$
Non è difficile, se vuoi fare l'integrale indefinito scordati degli estremi, fai le sostituzioni che vuoi, risolvilo, dopodiché risostituisci all'indietro tutte le variabili che hai risostituito, riportandoti a quella iniziale, poi riprendi gli estremi e fai $F(b)-F(a)$ come al solito.
Il metodo dell'integrale definito è più rapido. Sostituisci la variabile cambiando opportunamente gli estremi, risolvi il nuovo integrale definito, e una volta risolto sai che il risultato è lo stesso dell'integrale definito di partenza. Non c'è bisogno quindi di ricambiare variabili.
Detto questo, se devi risolvere un integrale indefinito dipendente dal modulo di t, penso di sì, puoi spezzarlo in una somma di due integrali indefiniti, uno per $t>0$ e uno per $t<=0$
Niente da fare a me vengono opposti......
Allora l'integrale lo scrivo come:
[tex]\int\frac{t-1}{t(t^2+1)}dt+\int\frac{1-t}{t(t^2+1)}dt[/tex]
Ma mi vengono opposti....cosa non va?
Dovrei risolvere e poi sostituire le varibili e gli estremi originari, ma mi vengono opposti così.
Allora l'integrale lo scrivo come:
[tex]\int\frac{t-1}{t(t^2+1)}dt+\int\frac{1-t}{t(t^2+1)}dt[/tex]
Ma mi vengono opposti....cosa non va?
Dovrei risolvere e poi sostituire le varibili e gli estremi originari, ma mi vengono opposti così.
Pardon ho sbagliato io, ho scritto "somma di integrali", intendendo un'altra cosa: non deve venirti una somma di integrali, devono venirti due integrali, è diverso
Deve essere
$int (|t-1|)/(t(t^2+1))dt = {(int(t-1)/(t(t^2+1))dt ,if t>=1),(int(1-t)/(t(t^2+1))dt,if t<1):}$
Deve essere
$int (|t-1|)/(t(t^2+1))dt = {(int(t-1)/(t(t^2+1))dt ,if t>=1),(int(1-t)/(t(t^2+1))dt,if t<1):}$
ok e ora ho come risultati:
[tex]-log(t)+\frac{\log(t^2+1)}{2}+\arctan(t)[/tex]
Per il primo, mentre per il secondo gli stessi cambiati di segno.
Allora ora devo fare per il primo: F(b)-F(a) ? P.S. ma se il primo integrale ce l'ho per t>1 significa per l'estremo superiore dell'integrale, quindi come faccio a mettere -1 cioè F(a) ?
Devo fare poi sempre le stesse sostituzioni per il secondo integrale?
Il risultato finale da cosa è dato?
Scusa ma non abbiamo fatto molti esercizi di questo tipo.....i corsi di analisi matematica sono fantastici.....
[tex]-log(t)+\frac{\log(t^2+1)}{2}+\arctan(t)[/tex]
Per il primo, mentre per il secondo gli stessi cambiati di segno.
Allora ora devo fare per il primo: F(b)-F(a) ? P.S. ma se il primo integrale ce l'ho per t>1 significa per l'estremo superiore dell'integrale, quindi come faccio a mettere -1 cioè F(a) ?
Devo fare poi sempre le stesse sostituzioni per il secondo integrale?
Il risultato finale da cosa è dato?
Scusa ma non abbiamo fatto molti esercizi di questo tipo.....i corsi di analisi matematica sono fantastici.....
ok, quindi per $t>1$ vale il primo e per $t<=1$ vale il secondo.
Adesso devi risostituire a $t = e^x$
Quindi si avrà
$-ln(t)+1/2 ln(t^2+1) + arctg(t) -> -x + 1/2 ln (e^(2x) +1) + arctg(e^x)$ se $e^x<1 -> x <0$
A questo punto si è detto che devi ritornare all'integrale definito, quindi avrai
$int_(-1)^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx $
Ma abbiamo detto che per $x>0, F(x) =-x + 1/2 ln (e^(2x) +1) + arctg(e^x)$, mentre per x negativi
$F(x) = x - 1/2 ln (e^(2x) +1) - arctg(e^x)$
Allora, dividendo l'integrale iniziale in
$int_(-1)^0 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx + int_0^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1)dx$
Posiamo usare quello che sappiamo, cioè che per t minori di 0 la primitiva è (F), mentre per t maggiori di 0 è (-F)
si avrà:
$F(0) - F(-1) + (- F(1) + F(0)) = ln (2) + 2arctg (1) +1 + 1/2 ln (e^(-2) +1) + arctg(e^(-1)) - 1 + 1/2 ln(e^2+1 + arctg (e) $
Il metodo che vuoi fare è lungo in questo caso, molto più rapido il metodo che ti avevo suggerito, eviti di passare a integrali indefiniti e tornare indietro.
P.s. In realtà ci sarebbe un'inesattezza, si dovrebbe scrivere $int_(-1)^0 + lim_(epsilon->0)int_0^1$ per poter "togliere" il modulo in tutta coscienza. Però le funzioni sono continue nell'origine, e quindi quel limite equivale all'integrale tra 0 e 1.
Adesso devi risostituire a $t = e^x$
Quindi si avrà
$-ln(t)+1/2 ln(t^2+1) + arctg(t) -> -x + 1/2 ln (e^(2x) +1) + arctg(e^x)$ se $e^x<1 -> x <0$
A questo punto si è detto che devi ritornare all'integrale definito, quindi avrai
$int_(-1)^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx $
Ma abbiamo detto che per $x>0, F(x) =-x + 1/2 ln (e^(2x) +1) + arctg(e^x)$, mentre per x negativi
$F(x) = x - 1/2 ln (e^(2x) +1) - arctg(e^x)$
Allora, dividendo l'integrale iniziale in
$int_(-1)^0 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx + int_0^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1)dx$
Posiamo usare quello che sappiamo, cioè che per t minori di 0 la primitiva è (F), mentre per t maggiori di 0 è (-F)
si avrà:
$F(0) - F(-1) + (- F(1) + F(0)) = ln (2) + 2arctg (1) +1 + 1/2 ln (e^(-2) +1) + arctg(e^(-1)) - 1 + 1/2 ln(e^2+1 + arctg (e) $
Il metodo che vuoi fare è lungo in questo caso, molto più rapido il metodo che ti avevo suggerito, eviti di passare a integrali indefiniti e tornare indietro.
P.s. In realtà ci sarebbe un'inesattezza, si dovrebbe scrivere $int_(-1)^0 + lim_(epsilon->0)int_0^1$ per poter "togliere" il modulo in tutta coscienza. Però le funzioni sono continue nell'origine, e quindi quel limite equivale all'integrale tra 0 e 1.
Riassunto dei due metodi:
Metodo 1), sostituzione con integrale definito.
Si pone $t = e^x$, allora $x = ln (t)$ e gli estremi diventeranno $-1 = ln (t) -> -1 -> 1/e$ e $1-> e$
Sostituendo e spezzando il modulo in una somma:
$int_(1/e)^(1) (t-1)/(t^2+1)dt + int_1^e (-(t-1))/(t^2+1) dt = int_(1/e)^(1) (t-1)/(t^2+1)dt - int_1^e (t-1)/(t^2+1) dt $
e si risolve quest'ultimo integrale come un classico integrale definito.
Metodo 2), passaggio per integrale indefinito.
Si considera l'integrale indefinito $int (| e ^ x -1|)/(e^(2x) +1) dx$
Che, scritto diversamente, significa:
$int (|t-1|)/(t(t^2+1))dt = {(int(t-1)/(t(t^2+1))dt ,if t>=1),(int(1-t)/(t(t^2+1))dt,if t<1):}$
Dopo aver risolto quest'ultimo integrale, si risostituisce a $t -> e^x$, ottenendo così due primitive in funzione di $e^x$ , che chiameremo $F_+$ ed $F_-$, notando che vale $F_+ = - F_-$
A questo punto torniamo all'integrale definito, scrivendolo come
$int_(-1)^0 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx + int_0^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1)dx = F_(-) (0) - F_(-)(-1) + F_+ (1) - F_+(0) = 2 F_(-)(0) - F_(-)(1) - F_(-)(-1)$
Metodo 1), sostituzione con integrale definito.
Si pone $t = e^x$, allora $x = ln (t)$ e gli estremi diventeranno $-1 = ln (t) -> -1 -> 1/e$ e $1-> e$
Sostituendo e spezzando il modulo in una somma:
$int_(1/e)^(1) (t-1)/(t^2+1)dt + int_1^e (-(t-1))/(t^2+1) dt = int_(1/e)^(1) (t-1)/(t^2+1)dt - int_1^e (t-1)/(t^2+1) dt $
e si risolve quest'ultimo integrale come un classico integrale definito.
Metodo 2), passaggio per integrale indefinito.
Si considera l'integrale indefinito $int (| e ^ x -1|)/(e^(2x) +1) dx$
Che, scritto diversamente, significa:
$int (|t-1|)/(t(t^2+1))dt = {(int(t-1)/(t(t^2+1))dt ,if t>=1),(int(1-t)/(t(t^2+1))dt,if t<1):}$
Dopo aver risolto quest'ultimo integrale, si risostituisce a $t -> e^x$, ottenendo così due primitive in funzione di $e^x$ , che chiameremo $F_+$ ed $F_-$, notando che vale $F_+ = - F_-$
A questo punto torniamo all'integrale definito, scrivendolo come
$int_(-1)^0 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1) dx + int_0^1 (|e^x-1|)/(e^(2x)+1)dx = F_(-) (0) - F_(-)(-1) + F_+ (1) - F_+(0) = 2 F_(-)(0) - F_(-)(1) - F_(-)(-1)$
Eh ecco..ci sono quasi.
Però non ho capito due cose solamente.
Il discorso che hai fatto su come si dovrebbe scrivere e l'ultimo risultato.
Non dovrebbe essere:
[tex]2F_(0)-F_(-1)+F+(1)[/tex] ?
Però non ho capito due cose solamente.
Il discorso che hai fatto su come si dovrebbe scrivere e l'ultimo risultato.
Non dovrebbe essere:
[tex]2F_(0)-F_(-1)+F+(1)[/tex] ?
sì, ma si è detto $F_+ = - F_-$
Ok benissimo...
ti ringrazio.
ti ringrazio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo