Integrale definito
[tex]\int_{-1}^{1}\frac{|e^x-1|}{e^{2x}+1}[/tex]
Ora penso che quando ci sia il valore assoluto bisogna distinguere i due casi...comunque ho pensato di procedere per sostituzione...
[tex]\frac{t-1}{t(t^2-1)}dt[/tex]
Risolvo il sistema e ottengo sorvolando sugli indici dell'integrale:
[tex]\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-t+1}{t^2-1}dt[/tex]
Ora il primo diventa [tex]\log(t)[/tex]
Per l'altro ho il problema al numeratore dell'1, perchè altrimenti potrei crearmi facilmente la derivata al numeratore.
Ma l'1 non lo posso isolare credo...perchè è una somma...e solo quando ho solamente una cosatante al numeratore, o che moltiplica posso isolarla se non erro.
Ora penso che quando ci sia il valore assoluto bisogna distinguere i due casi...comunque ho pensato di procedere per sostituzione...
[tex]\frac{t-1}{t(t^2-1)}dt[/tex]
Risolvo il sistema e ottengo sorvolando sugli indici dell'integrale:
[tex]\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-t+1}{t^2-1}dt[/tex]
Ora il primo diventa [tex]\log(t)[/tex]
Per l'altro ho il problema al numeratore dell'1, perchè altrimenti potrei crearmi facilmente la derivata al numeratore.
Ma l'1 non lo posso isolare credo...perchè è una somma...e solo quando ho solamente una cosatante al numeratore, o che moltiplica posso isolarla se non erro.
Risposte
La strategia per la risoluzione è questa.
In primis, devi eliminare il valore assoluto spezzando opportunamente l'integrale.
In secundis, devi fare la sostituzione [tex]$t=e^x$[/tex] (perchè l'integrando è una funzione razionale di [tex]$e^x$[/tex]).
In tertiis, devi scomporre in fratti semplici.
In primis, devi eliminare il valore assoluto spezzando opportunamente l'integrale.
In secundis, devi fare la sostituzione [tex]$t=e^x$[/tex] (perchè l'integrando è una funzione razionale di [tex]$e^x$[/tex]).
In tertiis, devi scomporre in fratti semplici.
La sostituzione $x = ln t$ fa diventare gli estremi di integrazione $1/e$ e $e$, quindi $|e^x -1| -> |t - 1|$ e devi comunque spezzare l'integrale in due parti, cosa che non hai fatto. Inoltre al denominaore $e^(2x)+1 -> t^2 +1 $ e non $t^2-1$, anche perché altrimenti avresti avuto grossi problemi intorno all'1.
Quindi l'integrale diventa $int_(1/e)^1 (t-1)/(t(t^2+1)) dt + int_1^e (1-t)/(t(t^2+1))dt$
Venendo a ciò che hai fatto, non capisco in che modo tu abbia spezzato gli integrali, ma al secondo basta scrivere $(1 - t)/(t^2+1) = 1 /(t^2+1) - t/(t^2+1)$
che sono due integrali notevoli...
Edit: scrivevo in contemporanea a gugo.
Quindi l'integrale diventa $int_(1/e)^1 (t-1)/(t(t^2+1)) dt + int_1^e (1-t)/(t(t^2+1))dt$
Venendo a ciò che hai fatto, non capisco in che modo tu abbia spezzato gli integrali, ma al secondo basta scrivere $(1 - t)/(t^2+1) = 1 /(t^2+1) - t/(t^2+1)$
che sono due integrali notevoli...
Edit: scrivevo in contemporanea a gugo.
Non capisco questa cosa degli estremi....perchè vanno toccati?
Io sapevo che si procede normalemente con la risoluzione dell'integrale e poi si sostituiscono dopo.
E poi, sul valore degli estremi che sono [tex]\frac{1}{e},e[/tex] ci siamo, però:
Il valore assoluto si spezza quindi come somma dei due integrali?
Perchè nel primo integrale il limite superiore è 1?
E l'altro parte da 1?
Perchè proprio 1?
Io sapevo che si procede normalemente con la risoluzione dell'integrale e poi si sostituiscono dopo.
E poi, sul valore degli estremi che sono [tex]\frac{1}{e},e[/tex] ci siamo, però:
Il valore assoluto si spezza quindi come somma dei due integrali?
Perchè nel primo integrale il limite superiore è 1?
E l'altro parte da 1?
Perchè proprio 1?
Veramente il teorema di sostituzione impone di cambiarli gli estremi quando effettui un cambio di variabile, semplicemente tu lo fai dopo aver risolto l'integrale indefinito, che poi è come si fa in pratica. Ma in uno scritto devi fare la sostituzione, cambiare gli estremi, risolvere. Non fare la sostituzione, risolvere, cambiare gli estremi.
A parte questo l'integrale diventa $int_(1/e)^e |t-1|/(t(t^2+1))dt$. Su questo hai detto che ci sei quindi niente da aggiungere.
Ora notiamo che il valore assoluto cambia il segno dell'espressione solo se $t <1$. Quindi se io considero l'intervallo che va da $1/e$ ad $1$ avrò che $|t-1| = 1 - t$, quindi se uso una delle proprietà fondamentali degli integrali, ovvero che se $a
$int_(1/e)^e |t-1|/(t(t^2+1))dt = int_(1/e)^1 (1-t)/(t(t^2+1))dt +int_1^e (t-1)/(t(t^2+1))dt$
Quindi si è scelto 1 proprio per "spezzare" il modulo che ci dava noia nella risoluzione.
A parte questo l'integrale diventa $int_(1/e)^e |t-1|/(t(t^2+1))dt$. Su questo hai detto che ci sei quindi niente da aggiungere.
Ora notiamo che il valore assoluto cambia il segno dell'espressione solo se $t <1$. Quindi se io considero l'intervallo che va da $1/e$ ad $1$ avrò che $|t-1| = 1 - t$, quindi se uso una delle proprietà fondamentali degli integrali, ovvero che se $a
$int_(1/e)^e |t-1|/(t(t^2+1))dt = int_(1/e)^1 (1-t)/(t(t^2+1))dt +int_1^e (t-1)/(t(t^2+1))dt$
Quindi si è scelto 1 proprio per "spezzare" il modulo che ci dava noia nella risoluzione.
Emh, una cosa...avevi detto se rileggi qualche post precedente che per il secondo integrale spezzando come facevi tu si ottengono due integrali notavoli, ma in quei denominatori non ti sei dimenticato una t a moltiplicare?
Hai scritto solo [tex]t^2+1[/tex] ma non c'era un t che moltiplicava? Hai spezzato l'espressione ma non vedo l'altra t...
Hai scritto solo [tex]t^2+1[/tex] ma non c'era un t che moltiplicava? Hai spezzato l'espressione ma non vedo l'altra t...
Sì scusa, sbagliato io, mi ero scordato una t... non sono notevoli, devi procedere per fratti semplici.
Ecco, ora praticamente svolgendo l'integrale ottengo come risultato, prendendo quello con gli estremi che vanno da [tex]\frac{1}{e},1[/tex]
[tex]\log(t)-\frac{\log(t^2+1)}{2}-\arctan(1+t^2)[/tex]
Dovrebbe essere quello....e praticamente per l'altro integrale ottengo lo stesso risultato solo che ovviamente gli estremi sono diversi...
Ora siccome per risolvere un integrale di estremi a
Ammesso che il risultato sia corretto, dovrei sostituire prima a tutto quel risultato [tex]\frac{1}{e}[/tex] e poi sottrarlo a [tex]1[/tex] se non sbaglio.
[tex]\log(t)-\frac{\log(t^2+1)}{2}-\arctan(1+t^2)[/tex]
Dovrebbe essere quello....e praticamente per l'altro integrale ottengo lo stesso risultato solo che ovviamente gli estremi sono diversi...
Ora siccome per risolvere un integrale di estremi a
Ammesso che il risultato sia corretto, dovrei sostituire prima a tutto quel risultato [tex]\frac{1}{e}[/tex] e poi sottrarlo a [tex]1[/tex] se non sbaglio.
Esatto, se dici che devi fare $F(b) - F(a)$ dovrai fare $F(1) - F(1/e)$...
Se hai dei dubbi su cose abbastanza banali, come alle volte ho io per via del fatto che sono una persona insicura, applica ragionamenti facili, in modo da capire subito se sbagli. Per esempio, calcoliamo l'area compresa dalla retta di equazione $y = 2x$ e l'asse delle x, per x che va tra 1 e 2. Sei d'accordo che l'area è positiva, quindi:
$int_1^2 2x dx = x^2 |_1^2 = 4 -1 = 3$ non si ha $1 - 4 = -3$, altrimenti l'area coperta dalla retta $y = 2x$ tra 1 e 2 sarebbe negativa, no?
Se hai dei dubbi su cose abbastanza banali, come alle volte ho io per via del fatto che sono una persona insicura, applica ragionamenti facili, in modo da capire subito se sbagli. Per esempio, calcoliamo l'area compresa dalla retta di equazione $y = 2x$ e l'asse delle x, per x che va tra 1 e 2. Sei d'accordo che l'area è positiva, quindi:
$int_1^2 2x dx = x^2 |_1^2 = 4 -1 = 3$ non si ha $1 - 4 = -3$, altrimenti l'area coperta dalla retta $y = 2x$ tra 1 e 2 sarebbe negativa, no?
E ma quindi scusa in questo caso io dato che abbiamo separato il valore assoluto come somma di due integrali, a questo punto dovrei farlo due volte?
Cioè avrei:
[tex]F(1)-F(\frac{1}{e})-[F(e)-F(1)][/tex] ?
Perchè io praticamente ho calcolato due integrali con due estremi diversi per quella proprietà...
Quindi come procedo?
Cioè avrei:
[tex]F(1)-F(\frac{1}{e})-[F(e)-F(1)][/tex] ?
Perchè io praticamente ho calcolato due integrali con due estremi diversi per quella proprietà...
Quindi come procedo?
come hai fatto tu, ricordati che sono due integrali diversi quindi avrai in generale due primitive diverse, che però sommandole danno il risultato esatto. Cosa ti turba?
Che mi sembra venga un calcolo enorme....ci provo e poi torno..
Scusa non riesco, visto che sono arrivato quasi alla fine, non è che potresti farmi vedere come sostituire?
Perchè l'ho fatto altre volte ma in questi casi con il valore assoluto no, e non sono sicuro di quello che faccio.
Una domanda solamente:
Quand'è che devo sostituire gli estremi dell'integrale come abbiamo fatto questa volta?
Cioè si fa sempre o forse solo quando si applica il metodo di sostituzione?
Perchè alcuni integrali li vedo risolti normalmente e solo alla fine si scrive questa:
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckeac.html
E si sotituiscono gli estremi direttamente all'espressione e la cosa finisce.
Quand'è che si devono invece cambiare subito nel simbolo integrale e quando si lasciano come sono e si sostituiscono solo alla fine a cose fatte?
Ti ringrazio in anticipo...
Perchè l'ho fatto altre volte ma in questi casi con il valore assoluto no, e non sono sicuro di quello che faccio.
Una domanda solamente:
Quand'è che devo sostituire gli estremi dell'integrale come abbiamo fatto questa volta?
Cioè si fa sempre o forse solo quando si applica il metodo di sostituzione?
Perchè alcuni integrali li vedo risolti normalmente e solo alla fine si scrive questa:
http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckeac.html
E si sotituiscono gli estremi direttamente all'espressione e la cosa finisce.
Quand'è che si devono invece cambiare subito nel simbolo integrale e quando si lasciano come sono e si sostituiscono solo alla fine a cose fatte?
Ti ringrazio in anticipo...
Ma hai fatto bene, viene $2 F(1) - F(e) - F (1/e)$ Non capisco davvero che problemi hai. Sostituisci e hai finito. Sì, ogni volta che si fa una sostituzione si devono cambiare SEMPRE gli estremi di integrazione. Ma questo dovresti saperlo dalla teoria, non dovrebbe stupirti. Vatti a rileggere il teorema di sostituzione.
In realtà esistono due strategie per calcolare gli integrali definiti per sostituzione.
La prima (e più corretta) è: applico correttamente il teorema, che dice: "Se hai un integrale del tipo [tex]$\int_a^b f(g(x))\ \text{d} x$[/tex] con [tex]$g$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex] e strettamente monotona, allora:
[tex]$\int_a^b f(g(x))\ \text{d} x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\ \frac{1}{g^\prime (g^{-1}(t))}\ \text{d} t$[/tex]
(in questo caso si cambiano anche gli estremi d'integrazione)"; calcolo l'integrale al secondo membro della precedente, sperando sia più semplice di quello iniziale.
La seconda è: passo all'integrale indefinito; lo calcolo per sostituzione; sostituisco a ritroso; poi calcolo l'integrale definito con gli estremi assegnati.
Probabile che Daréios sia abituato alla seconda strategia.
La prima (e più corretta) è: applico correttamente il teorema, che dice: "Se hai un integrale del tipo [tex]$\int_a^b f(g(x))\ \text{d} x$[/tex] con [tex]$g$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex] e strettamente monotona, allora:
[tex]$\int_a^b f(g(x))\ \text{d} x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\ \frac{1}{g^\prime (g^{-1}(t))}\ \text{d} t$[/tex]
(in questo caso si cambiano anche gli estremi d'integrazione)"; calcolo l'integrale al secondo membro della precedente, sperando sia più semplice di quello iniziale.
La seconda è: passo all'integrale indefinito; lo calcolo per sostituzione; sostituisco a ritroso; poi calcolo l'integrale definito con gli estremi assegnati.
Probabile che Daréios sia abituato alla seconda strategia.
Aah Ok, in quel senso li sì, ma da come era scritto da dareios sembrava non fare i passaggi a ritroso, quindi non capivo il dubbio.
Mh..ok
Bè ci ho provato, per conferma dato che è la prima volta che ho un valore assoluto lo scrivo...a me, se ho sostituito bene(
) viene:
[tex]2F(1)-F(e)-F(\frac{1}{e})[/tex]
Quindi:
[tex]2(1-\frac{\log(e^2+1)}{2}-\arctan(1+e))-[e-\frac{\log(e^{2e}+1)}{2}-\arctan(1+e^e)]-[\frac{1}{e}-\frac{\log(e^{\frac{2}{e}}+1)}{2}-\arctan(1+e^{\frac{2}{e}})][/tex]
Mi sembra strano tutto questo risultato, spero sia un' impressione solamente.
@Gugo.
Ah benissimo, allora si vede che abbiamo seguito sempre quest'altra strada, quindi al posto di sostituire come abbiamo fatto, bastava trattarlo come indefinito e alla fine, sostituire, e poi fare la differenza ponendo gli estremi dell'integrale.
Bè ci ho provato, per conferma dato che è la prima volta che ho un valore assoluto lo scrivo...a me, se ho sostituito bene(
) viene:[tex]2F(1)-F(e)-F(\frac{1}{e})[/tex]
Quindi:
[tex]2(1-\frac{\log(e^2+1)}{2}-\arctan(1+e))-[e-\frac{\log(e^{2e}+1)}{2}-\arctan(1+e^e)]-[\frac{1}{e}-\frac{\log(e^{\frac{2}{e}}+1)}{2}-\arctan(1+e^{\frac{2}{e}})][/tex]
Mi sembra strano tutto questo risultato, spero sia un' impressione solamente.
@Gugo.
Ah benissimo, allora si vede che abbiamo seguito sempre quest'altra strada, quindi al posto di sostituire come abbiamo fatto, bastava trattarlo come indefinito e alla fine, sostituire, e poi fare la differenza ponendo gli estremi dell'integrale.
No, allora un po' d'ordine: o cambi variabile e poi risolvi come ti ho detto io, e allora devi fare $2F(1) - F(e) - F(1/e)$ calcolandola rispetto a t, non rispetto a $e^x$, oppure fai come ha detto gugo, e come fai di solito, ma allora devi cambiare un'altra volta gli estremi, tornando a quelli di partenza. Sono due procedimenti distinti,non puoi mischiarli!
mh....ci riprovo più tardi....ti faccio sapere comunque.
Mi sa che lo rifaccio dall'inizio con il mio metodo e ti faccio sapere, o stasera o domani, ora sono passato ad un'altra materia.
Grazie comunque...
Mi sa che lo rifaccio dall'inizio con il mio metodo e ti faccio sapere, o stasera o domani, ora sono passato ad un'altra materia.
Grazie comunque...
Mah.non so dove sto arrivando mo provato a rifare l'integrale, ora ho pensato nello spezzare il valore assoluto posso riscrivere cambiando così gli estremi?
[tex]\int_{0}^{1}\frac{t-1}{t(t^2+1)}dt+\int_{-1}^{0}\frac{1-t}{t(t^2+1)}dt[/tex] ?
Anceh se così ottengo come risultato un valore che si annulla perchè i risultati mi vengono opposti...
Ma altrimenti come faccio se non scrivo così a spezzare il valore assoluto senza fare la sostituzione degli estremi come avevamo fatto all'inizio del post?
[tex]\int_{0}^{1}\frac{t-1}{t(t^2+1)}dt+\int_{-1}^{0}\frac{1-t}{t(t^2+1)}dt[/tex] ?
Anceh se così ottengo come risultato un valore che si annulla perchè i risultati mi vengono opposti...
Ma altrimenti come faccio se non scrivo così a spezzare il valore assoluto senza fare la sostituzione degli estremi come avevamo fatto all'inizio del post?
Ma no.
Prima strada: cambio di variabile e di estremi (tu hai solo cambiato variabile, per questo non ti torna, devi anche cambiare gli estremi. Notare che coi tuoi estremi c'è una singolarità, che invece non c'è nella funzione originale, questo è segno che qualcosa non va)
Seconda strada: cambio di variabile, risoluzione dell'integrale INDEFINITO, risostituire alla variabile cambiata la variabile di partenza, rimettere gli estremi.
Prima strada: cambio di variabile e di estremi (tu hai solo cambiato variabile, per questo non ti torna, devi anche cambiare gli estremi. Notare che coi tuoi estremi c'è una singolarità, che invece non c'è nella funzione originale, questo è segno che qualcosa non va)
Seconda strada: cambio di variabile, risoluzione dell'integrale INDEFINITO, risostituire alla variabile cambiata la variabile di partenza, rimettere gli estremi.
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