Integrale definito

[cipicchio]

Siamo di nuovo bloccati (causa anche caldo afoso che ci annebbia la mente)
questa volta con un integrale definito

$\int_o^pi(log(1+cos(x))dx$

il signor Mitidieri non ci fa fare sogni tranquilli
provato con sostituzione, parti e altro ma nada
qualche consiglio? grazie

[E-3131]

Per parti

[Lo_zio_Tom]

"E-313":Per parti

la vedo molto dura

[alessio761]

"cipicchio":Siamo di nuovo bloccati (causa anche caldo afoso che ci annebbia la mente)
questa volta con un integrale definito

$\int_o^pi(log(1+cos(x))dx$

il signor Mitidieri non ci fa fare sogni tranquilli
provato con sostituzione, parti e altro ma nada
qualche consiglio? grazie

Sicuro il testo sia quello? Nel caso sarei perplesso...

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false

[alessio761]

"TeM":Dunque, tramite banali sostituzioni e proprietà goniometriche, si ha \[ I := \int_0^{\pi} \log(1 + \cos(x))\,\text{d}x = \int_0^{\pi} \log(1 + \cos(\pi - x))\,\text{d}x = \int_0^{\pi} \log(1 - \cos(x))\,\text{d}x \,, \] ma allora \[ I + I = \int_0^{\pi} \log(1 + \cos(x))\,\text{d}x + \int_0^{\pi} \log(1 - \cos(x))\,\text{d}x \,, \] quindi grazie alle note proprietà dei logaritmi e all'identità goniometrica fondamentale, si ha \[ 2\,I = \int_0^{\pi} \log(1^2 - \cos^2(x))\,\text{d}x = \int_0^{\pi} \log(\sin^2(x))\,\text{d}x = 2 \int_0^{\pi} \log(\sin(x))\,\text{d}x \; . \] Ciò fatto, grazie ad evidenti proprietà simmetriche, si ha \[ I = \int_0^{\pi} \log(\sin(x))\,\text{d}x = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin(x))\,\text{d}x = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos(x))\,\text{d}x \,, \] ma allora \[ I + I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin(x))\,\text{d}x + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos(x))\,\text{d}x \,, \] quindi, nuovamente grazie alle note proprietà dei logaritmi e alla formula di duplicazione del seno, si ha \[ 2\,I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin(2\,x))\,\text{d}x - \pi\log(2) = \int_0^{\pi} \log(\sin(x))\,\text{d}x - \pi\,\log(2) \; .\] Abbiamo vinto!! Infatti, dalla quarta riga si evince \[ I = \int_0^{\pi} \log(\sin(x))\,\text{d}x \] quindi sostituendo nell'ultima equazione determinata, si ha \[ 2\,I = I - \pi\,\log(2) \; \; \Leftrightarrow \; \; I = - \pi\,\log(2) \; . \] Naturalmente questa procedura se non la si è mai vista difficilmente è applicabile
ed eventuali integrazioni per parti o sostituzioni "non ad hoc" sono inconcludenti.

In ogni modo, il tutto è generalizzabile tramite la "nota" integrazione e derivazione
rispetto ad un parametro come qualche anno fa avevo riassunto in questo pdf.

Bello....ma forse ho qualche problema nel primo passaggio O.O....mi faro' i conti...

[alessio761]

"TeM":[quote="alessio76"]ho qualche problema nel primo passaggio O.O

Nel primissimo passaggio ho adottato una sostituzione del tipo \(x = \pi - t\): dal momento che di "giochetti" simili
ve ne sono molti nel seguito, ho preferito non cambiare lettera, altrimenti poi sarebbe risultato un macello. [/quote]

Sì sì la sostituzione era chiara, ma non scrivendo (su foglio...) ho dimenticato di girare gli estremi di integrazione per sistemare il - del differenziale O.O sorry e grazie

[Lo_zio_Tom]

non ho parole......chapeau

[cipicchio]

sinceramente.... ho molti dubbi xD

nel primo passaggio
ok fai il cambio di variabile
$x=pi-t$
ma non dovrebbero cambiare gli estremi di integrazione in quel caso? dal differenziale intendo

un altro passaggio dove ho dubbi è quando fai
$\int_0^(pi/2)log(sin(x))=\int_0^(pi/2)log(cos(x))$

l'unica risposta che mi son dato è che hai fatto un altro cambio di variabile giusto?

prendendo per buono quello guardo il passaggio dopo e rimango perplesso
$ sin(2x)=2sinxcosx$

dalla moltiplicazione dei due logaritmi mi viene solo $sinxcosx$ senza il 2 davanti e non mi capacito da dove esca il $pilog2$

gli estremi di integrazione che tornano normali è ok e le uguaglianze dopo pure

comunque grazie per le risposte e per il tempo

[Lo_zio_Tom]

"cipicchio":sinceramente.... ho molti dubbi xD

prendendo per buono quello guardo il passaggio dopo e rimango perplesso
$ sin(2x)=2sinxcosx$

dalla moltiplicazione dei due logaritmi mi viene solo $sinxcosx$ senza il 2 davanti e non mi capacito da dove esca il $pilog2$

cominciamo a dipanare questo.....[algebra mode zero ON]

$2int_(0)^(pi/2)logsinxdx+2int_(0)^(pi/2)logcosxdx=2int_(0)^(pi/2)(logsinx+logcosx)dx=2int_(0)^(pi/2)log(sincosx)dx=$

$=2int_(0)^(pi/2)(log(sinxcosx)+log2-log2)dx=2int_(0)^(pi/2)(log(2sinxcosx)-log2)dx=$

$=2int_(0)^(pi/2)(log(sen(2x))-log2)dx= 2int_(0)^(pi/2)log(sen(2x))dx-2int_(0)^(pi/2)log2dx=2int_(0)^(pi/2)log(sen(2x))dx-pilog2=$

$=int_(0)^(pi)log(sen(2x))dx-pilog2=$

t'è capì adesss???????

[cipicchio]

Si Grazie mille ad entrambi ^^

[mazzarri1]

Un complimento sincero a TeM, ho anche letto il tuo pdf... grande!