Integrale definito
Ciao a tutti.
Facendo un esercizio di elettrotecnica mi sono trovato ad avere a che fare con un integrale definito e non sono riuscito a svolgerlo completamente. Devo risolvere:
$d\frac{i_L(t)}{dt}=-\frac{i_L(t)}{\tau}+\frac{v_{eq}(t)}{L}$, con $\tau$,$L$ costanti.
Io ho fatto così: $i_L(t)=-\frac{1}{\tau} int_(0)^(t) i_L(t) dt+\frac{1}{L} int_(0)^(t) v_{eq}(t) dt$
Poi non so più come andare avanti.
Il libro porta come soluzione finale $i_L(t)=i_L(0)e^(-\frac{t}{\tau})+int_(0)^(t)e^(-(t-t')/\tau)\frac{v_{eq}(t')}{L}dt'$
Qualcuno può spiegarmi come ricavarlo, passo-passo, per favore?
Facendo un esercizio di elettrotecnica mi sono trovato ad avere a che fare con un integrale definito e non sono riuscito a svolgerlo completamente. Devo risolvere:
$d\frac{i_L(t)}{dt}=-\frac{i_L(t)}{\tau}+\frac{v_{eq}(t)}{L}$, con $\tau$,$L$ costanti.
Io ho fatto così: $i_L(t)=-\frac{1}{\tau} int_(0)^(t) i_L(t) dt+\frac{1}{L} int_(0)^(t) v_{eq}(t) dt$
Poi non so più come andare avanti.
Il libro porta come soluzione finale $i_L(t)=i_L(0)e^(-\frac{t}{\tau})+int_(0)^(t)e^(-(t-t')/\tau)\frac{v_{eq}(t')}{L}dt'$
Qualcuno può spiegarmi come ricavarlo, passo-passo, per favore?
Risposte
Ciao, sleax.
L'esercizio da te proposto non costituisce semplicemente un integrale definito, ma un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine; non ha molto senso che ti spieghi come risolverla se non conosci ancora questo importante strumento matematico che trova applicazioni in vari ambiti, come, in questo caso, la fisica.
Ti converrebbe, prima di tutto, trattare e approfondire un po' di nozioni teoriche al riguardo.
In queste particolari equazioni le incognite non sono, come nel caso delle equazioni ordinarie, dei semplici numeri, ma sono addirittura delle funzioni.
In questo caso, supponendo che le funzioni incognite siano proprio le funzioni $i_L(t)$ e $v_{eq}(t)$, ci dovrebbe essere una correlazione tra le due funzioni, presumibilmente deducibile da uno schema elettrico che contenga almeno un induttore, almeno a giudicare dalle costanti che compaiono nell'equazione ($tau=$ "costante di tempo del circuito" e $L=$ "induttore").
Ad ogni modo, le informazioni che hai comunicato non sono complete e, comunque, rinnovo il consiglio di trattare le principali nozioni sulle equazioni differenziali, sia "a variabili separabili" che "lineari a coefficienti costanti" (del primo e del secondo ordine).
Spero di esserti stato utile.
Saluti.
L'esercizio da te proposto non costituisce semplicemente un integrale definito, ma un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine; non ha molto senso che ti spieghi come risolverla se non conosci ancora questo importante strumento matematico che trova applicazioni in vari ambiti, come, in questo caso, la fisica.
Ti converrebbe, prima di tutto, trattare e approfondire un po' di nozioni teoriche al riguardo.
In queste particolari equazioni le incognite non sono, come nel caso delle equazioni ordinarie, dei semplici numeri, ma sono addirittura delle funzioni.
In questo caso, supponendo che le funzioni incognite siano proprio le funzioni $i_L(t)$ e $v_{eq}(t)$, ci dovrebbe essere una correlazione tra le due funzioni, presumibilmente deducibile da uno schema elettrico che contenga almeno un induttore, almeno a giudicare dalle costanti che compaiono nell'equazione ($tau=$ "costante di tempo del circuito" e $L=$ "induttore").
Ad ogni modo, le informazioni che hai comunicato non sono complete e, comunque, rinnovo il consiglio di trattare le principali nozioni sulle equazioni differenziali, sia "a variabili separabili" che "lineari a coefficienti costanti" (del primo e del secondo ordine).
Spero di esserti stato utile.
Saluti.
Grazie Alessandro! 
Di nulla, figuriamoci.
Ad ogni modo, visto che andavo di fretta , ho letto questo articolo ed ho provato a risolverla.
Integrando tra $0$ ed $s$: $i_L=e^(-s/\tau)[c_1+\frac{e^(s/\tau)}{L} int_(0)^(s) v_{eq}(t)dt]$ ...ma comunque non torna la soluzione. Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
Integrando tra $0$ ed $s$: $i_L=e^(-s/\tau)[c_1+\frac{e^(s/\tau)}{L} int_(0)^(s) v_{eq}(t)dt]$ ...ma comunque non torna la soluzione. Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
Ciao, sleax.
La tua ultima domanda, così come l'hai posta, non potrà avere alcuna risposta esplicita, soprattutto finchè non avrai chiarito, fondamentalmente, questi punti:
1) rispetto a quale funzione vorresti risolvere l'equazione?
2) da quale specifico contesto emergerebbe l'equazione proposta?
Al di là di ciò, ti converrebbe non avere troppa fretta nel risolvere questo specifico problema; pensa, prima di tutto, a crearti le abilità necessarie per poter risolvere i principali tipi di equazione differenziale.
Sono disponibili anche buoni libri di testo di matematica, per la scuola superiore, che trattano adeguatamente questo argomento.
Solamente dopo che avrai acquisito tali abilità sarai in grado di interpretare e risolvere correttamente il problema.
Saluti.
La tua ultima domanda, così come l'hai posta, non potrà avere alcuna risposta esplicita, soprattutto finchè non avrai chiarito, fondamentalmente, questi punti:
1) rispetto a quale funzione vorresti risolvere l'equazione?
2) da quale specifico contesto emergerebbe l'equazione proposta?
Al di là di ciò, ti converrebbe non avere troppa fretta nel risolvere questo specifico problema; pensa, prima di tutto, a crearti le abilità necessarie per poter risolvere i principali tipi di equazione differenziale.
Sono disponibili anche buoni libri di testo di matematica, per la scuola superiore, che trattano adeguatamente questo argomento.
Solamente dopo che avrai acquisito tali abilità sarai in grado di interpretare e risolvere correttamente il problema.
Saluti.
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