Integrale da brivido
Calcolare il valore dell'integrale doppio
∬ e^ (|x|+|y|) dx dy
sul cerchio
B= {(x,y): x^2 + y^2
∬ e^ (|x|+|y|) dx dy
sul cerchio
B= {(x,y): x^2 + y^2
Risposte
Il problema di questo integrale è che, in qualsiasi modo tu provi a risolverlo, otterrai da qualche parte una funzione per cui non è possibile trovare una forma esplicita per l'integrale indefinito. Quindi la risoluzione "classica non va bene.
Per prima cosa puoi osservare un fatto: il dominio di integrazione risulta simmetrico in qualsiasi direzione, e la funzione da integrare risulta simmetrica rispetto agli assi, rispetto all'origine e anche rispetto alle bisettrici dei quadranti (in quanto, scambiando tra loro x e y, ottieni sempre la stessa funzione). Questo ti permette di dire che il tuo integrale è pari a 8 volte l'integrale calcolato sul presente dominio:
che coincide con il primo spicchio di cerchio all'interno del primo quadrante.
Detto questo, però, altro non mi viene in mente perché, come dicevo prima, una volta applicata qualsiasi sostituzione mi sembra resti sempre qualche funzione non facilmente integrabile. Ci penso su e ti faccio sapere.
Per prima cosa puoi osservare un fatto: il dominio di integrazione risulta simmetrico in qualsiasi direzione, e la funzione da integrare risulta simmetrica rispetto agli assi, rispetto all'origine e anche rispetto alle bisettrici dei quadranti (in quanto, scambiando tra loro x e y, ottieni sempre la stessa funzione). Questo ti permette di dire che il tuo integrale è pari a 8 volte l'integrale calcolato sul presente dominio:
[math]C=\{x^2+y^2\le r^2,\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ y\le x\}[/math]
che coincide con il primo spicchio di cerchio all'interno del primo quadrante.
Detto questo, però, altro non mi viene in mente perché, come dicevo prima, una volta applicata qualsiasi sostituzione mi sembra resti sempre qualche funzione non facilmente integrabile. Ci penso su e ti faccio sapere.
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