Integrale curvilineo forma differenziale
salve ragazzi mi date una mano con questo esercizio?
data la forma differenziale
$ \omega=(y/(x^2+y^2)+log(y))dx+(x/y-x/(x^2+y^2))dy $
lungo la circonferenza di equazione : $ x^2+y^2-4x-4y+7 =0 $
Allora cominciamo:
la circonferenza ha centro in $ (2,2)$ e raggio unitario , allora le equazioni parametriche sono:
$x=2+cos(t) ; y=2+sen(t)$ con $ 0\leqt\leq2\pi $
allora la formula generale dell'integrale curvilineo è :
$ \int(a(x(t),y(t))x'(t)+b(x(t),y(t))y'(t) dt) $
allora nel nostro caso sarà:
$ \int (((2+sent)/(4sent+4cost+9)+log(2+sent))(-sent)+((2+cost)/(2+sent)-(cost)/(4sent+4cost+9))(cost)) dt $
ho fatto e rifatto i calcoli e se il procedimento è giusto, questo dovrebbe essere l'integrale da calcolare!!!
ma non so proprio da dove cominciare... non è che potreste darmi un amano?
Grazie
data la forma differenziale
$ \omega=(y/(x^2+y^2)+log(y))dx+(x/y-x/(x^2+y^2))dy $
lungo la circonferenza di equazione : $ x^2+y^2-4x-4y+7 =0 $
Allora cominciamo:
la circonferenza ha centro in $ (2,2)$ e raggio unitario , allora le equazioni parametriche sono:
$x=2+cos(t) ; y=2+sen(t)$ con $ 0\leqt\leq2\pi $
allora la formula generale dell'integrale curvilineo è :
$ \int(a(x(t),y(t))x'(t)+b(x(t),y(t))y'(t) dt) $
allora nel nostro caso sarà:
$ \int (((2+sent)/(4sent+4cost+9)+log(2+sent))(-sent)+((2+cost)/(2+sent)-(cost)/(4sent+4cost+9))(cost)) dt $
ho fatto e rifatto i calcoli e se il procedimento è giusto, questo dovrebbe essere l'integrale da calcolare!!!
ma non so proprio da dove cominciare... non è che potreste darmi un amano?
Grazie
Risposte
Grazie come sempre per l'aiuto;
allora onestamente conosco tale teorema, ma la mia prof non ha mai risolto questo tipo di problema in questo modo; per questo avrei bisogno di una conferma.
La forma differrenziale è chiusa, in quanto risulta
$ (\partial \omega_1)/(\partialy)(x,y)= (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2+1/y=(\partial\omega_2)/(\partialx)(x,y)$
poichè è soddisfatta la condizione necessaria, posso procedere con il calcolo della primitiva.
alla fine dei calcoli, risulta che la primitiva di tale forma differenziale è $f(x,y)=0$ quindi posso concludere che quell'integrale curvilineo è nullo e,poichè la funzione primitiva non esiste, la forma differenziale non è esatta
è corretto quanto dico?
allora onestamente conosco tale teorema, ma la mia prof non ha mai risolto questo tipo di problema in questo modo; per questo avrei bisogno di una conferma.
La forma differrenziale è chiusa, in quanto risulta
$ (\partial \omega_1)/(\partialy)(x,y)= (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2+1/y=(\partial\omega_2)/(\partialx)(x,y)$
poichè è soddisfatta la condizione necessaria, posso procedere con il calcolo della primitiva.
alla fine dei calcoli, risulta che la primitiva di tale forma differenziale è $f(x,y)=0$ quindi posso concludere che quell'integrale curvilineo è nullo e,poichè la funzione primitiva non esiste, la forma differenziale non è esatta
è corretto quanto dico?
ok ho rifatto tutti i calcoli e sono arrivato al suo stesso risultato.
e la ringrazio davvero molto per la disponibilità e la chiarezza.
sono appena tornato dall'esame scritto di analisi II e nel complesso è andato piuttosto bene.
Ma ho avuto non pochi problemi con la forma differenziale.
$\omega=(xsenx-1/(y^2-x))dx+y^2+1+((3y^2-x)/(y^3-xy))dy $
tale forma risulta chiusa poichè le derivate sono uguali e siccome il dominio è semplicemente connesso la forma è anche esatta.(il dominio è $y\ne0 ; y\ne\sqrtx $)
si richiede di calcolare l'integrale curvilineo di tale forma differenziale lungo la curva di eq parametriche:
$x(t)= -1+cos(t) ; y(t)=1+sen(t) ; t\in(0,\pi/2) $
si tratta chiaramente di un arco della circonferenza di centro (-1 ,1) e raggio 1.
Anche qui come nell'esercizio precedente applicare la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale , risulta molto complicato, allora ho pensato di applicare il teorema proposto sopra.
Ma anche in questo caso i calcoli non si semplificano di molto ; le propongo i calcoli per un confronto.
$\(partial(x,y))/(\partialx)=xsenx-1/(y^2-x)$
da cui
$\int(xsenx-1/(y^2-x))dx =log(x-y^2)+senx-xcosx+g(y)=f(x,y)$
con g(y) da determinare.
$(\partialf(x,y))/(\partialy)=\omega_2$
ovvero
$(2y)/(y^2-x)g'(y)=y^2+1+(3y^2-x)/(y^3-xy)-(2y)/(y^2-x)$
da cui $g(y)=y^3/3+y+logy $
quindi una primitiva sarà:
$f(x.y)=log(x-y^2)+senx-xcosx+y^3/3+y+logy$
ebbene sostituendo $x(t)= -1+cos(t) ; y(t)=1+sen(t) ; t\in(0,\pi/2) $
si ottiene una relazione alquanto complessa, che non si semplifica di molto quando la si valuta in $\pi/2$ e 0.
ora scrivo tale relazione
$f(x(t),y(t))=log[-1+cos(t)-(1+sen(t))^2]+sen(-1+cos(t))-[(-1cos(t))(cos(-1+cos(t)))]+((1+sen(t))^3)/3+1+sen(t)+log(1+sen(t))$
dunque valutando in $\pi/2$ e 0 vengono dei valori piuttosto insoliti.
Quindi le chiedo se puo darmi un aiuto.
Grazie come sempre.
e la ringrazio davvero molto per la disponibilità e la chiarezza.
sono appena tornato dall'esame scritto di analisi II e nel complesso è andato piuttosto bene.
Ma ho avuto non pochi problemi con la forma differenziale.
$\omega=(xsenx-1/(y^2-x))dx+y^2+1+((3y^2-x)/(y^3-xy))dy $
tale forma risulta chiusa poichè le derivate sono uguali e siccome il dominio è semplicemente connesso la forma è anche esatta.(il dominio è $y\ne0 ; y\ne\sqrtx $)
si richiede di calcolare l'integrale curvilineo di tale forma differenziale lungo la curva di eq parametriche:
$x(t)= -1+cos(t) ; y(t)=1+sen(t) ; t\in(0,\pi/2) $
si tratta chiaramente di un arco della circonferenza di centro (-1 ,1) e raggio 1.
Anche qui come nell'esercizio precedente applicare la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale , risulta molto complicato, allora ho pensato di applicare il teorema proposto sopra.
Ma anche in questo caso i calcoli non si semplificano di molto ; le propongo i calcoli per un confronto.
$\(partial(x,y))/(\partialx)=xsenx-1/(y^2-x)$
da cui
$\int(xsenx-1/(y^2-x))dx =log(x-y^2)+senx-xcosx+g(y)=f(x,y)$
con g(y) da determinare.
$(\partialf(x,y))/(\partialy)=\omega_2$
ovvero
$(2y)/(y^2-x)g'(y)=y^2+1+(3y^2-x)/(y^3-xy)-(2y)/(y^2-x)$
da cui $g(y)=y^3/3+y+logy $
quindi una primitiva sarà:
$f(x.y)=log(x-y^2)+senx-xcosx+y^3/3+y+logy$
ebbene sostituendo $x(t)= -1+cos(t) ; y(t)=1+sen(t) ; t\in(0,\pi/2) $
si ottiene una relazione alquanto complessa, che non si semplifica di molto quando la si valuta in $\pi/2$ e 0.
ora scrivo tale relazione
$f(x(t),y(t))=log[-1+cos(t)-(1+sen(t))^2]+sen(-1+cos(t))-[(-1cos(t))(cos(-1+cos(t)))]+((1+sen(t))^3)/3+1+sen(t)+log(1+sen(t))$
dunque valutando in $\pi/2$ e 0 vengono dei valori piuttosto insoliti.
Quindi le chiedo se puo darmi un aiuto.
Grazie come sempre.
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