Integrale curvilineo di prima specie

[smaug1]

$\int_\gamma x\ ds$ e $\gamma(t) = (t^3,t)$ con $t \in [0,1]$

ho trovato che $||\gamma' (t)|| = \sqrt{9t^4 + 1}$

Quindi l'integrale diventa $\int t^3\ \sqrt{9t^4 + 1}\ dt$

con la sostituzione $u = 9t^4 + 1$ ho che

$1/36 \int \sqrt{u}\ du = [1/36 2 /3 u^(3/2)]_1^10 = 1/36 2/3 27 = 1/2$

corretto?

[smaug1]

$1/36 2/3 9^(3/2) = 1/36 2/3 \sqrt{729} = 1/36 2/3 27 = 1/2$

[smaug1]

Ce ne sarebbe anche un altro:

$\int (1+x)\ ds$ e $\gamma(t) = (t^2/3, t^3/3)$ con $t \in [0,1]$

$\gamma' (t) = (2/3 t, t^2)$ quindi $||\gamma' (t)|| = \sqrt{t^2 (4/9 + t^2)}$

$\int_0^1 1 + t^2/3 \sqrt{t^2 (4/9 + t^2)} dt = \int_0^1 t + t^3/3 \sqrt{ (4/9 + t^2)} dt $

come posso fare?

[smaug1]

ahahah è vero $10^(3/2) - 1$ poi cosa mi dici?

[smaug1]

capito ma del termine $t^2/3 + 1$ cosa ne faccio?

[smaug1]

Grande! Quindi arrivo a

$\int (1/2 u + 23/54) \sqrt{u}\ du...$

[smaug1]

dovrebbe essere $\int (1/6 u + 23/54) \sqrt{u}\ du$

ho fatto i conti in fretta per risponderti subito finché eri connesso!

Grazie mille

[smaug1]

gli estremi vanno da $4/9$ a $13/9$

[smaug1]

gracias