Integrale curvilineo

[Manuk1]

Su un compito, io e i miei "colleghi" abbiamo trovato il seguente esercizio:

Calcolare la lunghezza dell'arco di cicloide ordinaria
$x=r(t-sint)$
$y=r(1-cost)$
che ha per estremi i punti corrispondenti a $t=0$ e $t=2 pi$

seguendo la procedura per impostare l'integrale di linea siamo arrivati all'integrale
$sqrt(2) r int_0^(2pi) sqrt(1-cost) dt$
Molti di noi per risolverlo hanno fatto la sostituzione $cos t=x$ da cui
$-sint dt = dx$
$- sqrt(1-cos^2t)dt=dx$
$dt = -dx/(sqrt(1-x^2))$
che, sostituito nell'integrale dà
$-int 1/(sqrt(1+x))dx = -sqrt(1+x) => -sqrt(1+cost)$ che risolto tra $0$ e $2pi$ dà come risultato $0$!!

Ora, allarmati da ciò, abbiamo rimediato considerando l'intervallo tra $0$ e $pi$ e moltiplicando per due, ottenendo così il risultato giusto $8r$.
Alla correzione del compito il prof ha fatto invece quest'altra sostituzione (in effetti molto più efficace ed elegante, però non ci avevamo pensato...):
$sqrt(1-cost)=sqrt(2)sin(t/2)$
dopo semplici calcoli l'integrale dà subito come risultato $8r$ senza che fosse necessario spezzare l'intervallo di integrazione.
La domanda alla quale ci è stato risposto "pensateci da soli" e che noi, dopo settimane di inutili riflessioni, vi giriamo è perchè?

Grazie

[gugo82]

La funzione $cos t$ non è strettamente monotona in $[0,2pi]$, quindi le ipotesi del Teorma di Sostituzione negli integrali definiti non sono soddisfatte: pertanto la sostituzione che proponevate è errata.

Quella che propone il tuo professore non è una sostituzione!
Infatti non sta cambiando la variabile d'integrazione (che rimane sempre $t$); però sta operando una manipolazione algebrica dell'integrando, la quale è valida per la formula di bisezione del seno.

[Manuk1]

come sempre era molto più facile di tutto quello che avevamo pensato.

Grazie mille, hai appena dato ad almeno dieci persone la possibilità di fare un esame .