Integrale convergente
Buon pomeriggio, oggi mi sono imbattuto in questo integrale con parametro e di esso bisogna calcolare per quali parametri $alpha$ l'integrale converge.
$ int_(1)^(oo ) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha)) dx $
Sono partita con l'estremo che tende a infinito e il valore risulta essere $alpha>(1/9)$
Tuttavia non riesco a calcolare il quello che tende a 1.
Il limite sarebbe:
$ lim_(x -> 1) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha)) $
Inizialmente ho pensato a razionalizzare:
$ lim_(x -> 1) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha))* sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx) $
$ lim_(x -> 1)( x^(2alpha)+5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx))* $
Ora io pensavo di sostituire il valore 1 all'interno ma risulterebbe $alpha>1 $ che tuttavia non è il risultato corretto.
Qualcuno mi saprebbe indicare dove sto sbagliando?
$ int_(1)^(oo ) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha)) dx $
Sono partita con l'estremo che tende a infinito e il valore risulta essere $alpha>(1/9)$
Tuttavia non riesco a calcolare il quello che tende a 1.
Il limite sarebbe:
$ lim_(x -> 1) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha)) $
Inizialmente ho pensato a razionalizzare:
$ lim_(x -> 1) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha))* sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx)/sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx) $
$ lim_(x -> 1)( x^(2alpha)+5lnx)/((x^2+2x-3)^(5alpha) sqrt(x^(2alpha)+ 5lnx))* $
Ora io pensavo di sostituire il valore 1 all'interno ma risulterebbe $alpha>1 $ che tuttavia non è il risultato corretto.
Qualcuno mi saprebbe indicare dove sto sbagliando?
Risposte
il numeratore in un intorno di 1 tende a 1. il denominatore puoi riscriverlo invece come $(x-1)^(5alpha)(x+4)^(5alpha)$ e questo lo valuti in un intorno di 1
Ciao cooper,
Piccola svista:
$(x-1)^(5alpha)(x+3)^(5alpha)$
Piccola svista:
$(x-1)^(5alpha)(x+3)^(5alpha)$
ciao anche a te! ovviamente hai ragione! 
grazie per la correzione! 
grazie per la correzione!
Parlando solo del denominatore mi risulterebbe
$ lim_(x -> 1) (x-1)^(5alpha)*(x+3)^(5alpha)=$
$lim_(x -> 1) (((-x+1)^(5alpha)-1)/(-x))*((x/3+1)^(5alpha)-1)/(x/3)=$
$lim_(x -> 1) (5alpha (-x)*(5alpha*(x/3))= $
Quindi prendendo anche il valore del numeratore risulterebbe:
$ lim_(x -> 1) x^(2a)/(25/3 alpha *sqrt(x^(2alpha)) $
$ lim_(x -> 1) 1/(25/3alpha*x^alpha* x^(-2alpha))= $
$lim_(x -> 1) 1/(25/3alpha*x^(-alpha))= $
Che però non riesco a ricavare il valore alpha.
$ lim_(x -> 1) (x-1)^(5alpha)*(x+3)^(5alpha)=$
$lim_(x -> 1) (((-x+1)^(5alpha)-1)/(-x))*((x/3+1)^(5alpha)-1)/(x/3)=$
$lim_(x -> 1) (5alpha (-x)*(5alpha*(x/3))= $
Quindi prendendo anche il valore del numeratore risulterebbe:
$ lim_(x -> 1) x^(2a)/(25/3 alpha *sqrt(x^(2alpha)) $
$ lim_(x -> 1) 1/(25/3alpha*x^alpha* x^(-2alpha))= $
$lim_(x -> 1) 1/(25/3alpha*x^(-alpha))= $
Che però non riesco a ricavare il valore alpha.
sai che non ho assolutamente capito cosa tu abbia fatto?
è molto più facile di quello che sembra. l'integrando per $x->1$ è asintotico a $1/(4^(5alpha)(x-1)^(5alpha))$ e questo lo puoi confrontare con l'integrale "fondamentale"
è molto più facile di quello che sembra. l'integrando per $x->1$ è asintotico a $1/(4^(5alpha)(x-1)^(5alpha))$ e questo lo puoi confrontare con l'integrale "fondamentale"
Ma per fondamentale cosa intendi? Perché l'unica forma nota che riconosco è quella $lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha-1)/x= alpha$
Ma ricado nello stesso errore di prima, qiimdi non è corretta quella che userei io...
Ricapitolando io avrei questo limite tendente a 1:
$(x^(2alpha))/((x-1)^(5alpha)*4^(5alpha)*(sqrt(x^(2alpha)))$
$ 1/(4^(5alpha)*x^(alpha)*(x-1)^(5alpha)) $
E ora come procedo?
Scusami ma credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua...
Ma ricado nello stesso errore di prima, qiimdi non è corretta quella che userei io...
Ricapitolando io avrei questo limite tendente a 1:
$(x^(2alpha))/((x-1)^(5alpha)*4^(5alpha)*(sqrt(x^(2alpha)))$
$ 1/(4^(5alpha)*x^(alpha)*(x-1)^(5alpha)) $
E ora come procedo?
Scusami ma credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua...
"Dot.who":
Scusami ma credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua...
Direi di sì, o forse hai fatto confusione fra i tuoi stessi post...
cooper si stava riferendo all'integrale fondamentale seguente:
$\int_{c}^{+\infty} frac{dx}{(x - a)^p} $
che converge se $p > 1$ e diverge se $p \le 1 $
Ah, ok! Si stavo facendo confusione.
Grazie mille
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo