Integrale con valore assoluto

[alex3691]

Salve forum,
mi appello a voi per capire perché questo esercizio sia sbagliato, rispetto a come viene risolto da Wolframalpha o comunque da un solutore online che risolve in modo numerico (vi anticipo che il risultato, secondo questi solutori, dovrebbe essere 1).
L'integrale è il seguente:
$ int_(1/e)^(e^2) \frac{abs(logx)}{x(logx+2)} dx $
La mia soluzione è stata la seguente: non sapendo come trattare il valore assoluto l'ho eliminato calcolando la somma di questi due integrali:
- il primo, tra 1/e ed 1 della funzione (cioè del log a numeratore) cambiata di segno;
- il secondo, tra 1 ed e^2 della funzione non cambiata di segno.

Ho prima risolto l'integrale indefinito, sostituendo dopo gli estremi di integrazione:
applicando la formula per parti, ho fissato:
$ { ( f'=\frac{1}{x(logx+2)} ),( g=logx ):} $
Per cui mi ritrovo
$ log(logx+2) \cdot logx - int \frac{log(logx+2)}{x} dx $
Dove il secondo integrale l'ho risolto per sostituzione, ponendo t=logx+2:
$ int log(t) dt=t(logt-1) $
Sostituendo tutto mi ritrovo, come formula generale:
$ [log(logx+2) \cdot logx]_a^b - [(logx+2)[log(logx+2)-1]]_a^b $
Alla fine mi ritrovo, quindi:
$ -[F'(x)]_{1/e}^{1} + [F'(x)]_{1}^{e^2} $
Ma il risultato, purtroppo è diverso.

Dove ho sbagliato?

[cooper1]

il "trucco" di spezzare l'integrale è corretto. invece di risolvere per parti usa la sostituzione: $ logx+2=t $
gli integrali sono decisamente più maneggevoli!