Integrale con residui
Ciao a tutti, sto cercando di imparara a risolvere gli integrali reali con il teorema dei residui.
Ma ho qualche difficoltà nella scelta del percorso. Per esempio ho questo integrale:
[tex]\int_{0}^{+\infty} \frac{log x}{\sqrt{x}(x^4+1)}[/tex]
Come funzione ausiliaria scelgo: [tex]f(z) = \frac{(log |z|+i arg z)^{2}}{\sqrt{|x|}e^{i\frac{arg z}{2}}(x^4+1)}[/tex]
che ha cinque poli di cui uno è l'origine.
Noto la presenza del logaritmo e della radice. Sarei portato a scegliere come percorso di integrazione la corona circolare con taglio sulla semiretta immaginaria superiore quindi con argomento [tex]\frac{\pi}{2}< arg z < \frac{5}{2}\pi[/tex], però svolgendo i quadrati gli integrali con il logaritmo al quadrato non mi si cancellano a vicenda per il fatto che sotto ho [tex]e^{i\frac{arg z}{2}}[/tex] con argomenti diversi...
qualche consiglio? grazie
Ma ho qualche difficoltà nella scelta del percorso. Per esempio ho questo integrale:
[tex]\int_{0}^{+\infty} \frac{log x}{\sqrt{x}(x^4+1)}[/tex]
Come funzione ausiliaria scelgo: [tex]f(z) = \frac{(log |z|+i arg z)^{2}}{\sqrt{|x|}e^{i\frac{arg z}{2}}(x^4+1)}[/tex]
che ha cinque poli di cui uno è l'origine.
Noto la presenza del logaritmo e della radice. Sarei portato a scegliere come percorso di integrazione la corona circolare con taglio sulla semiretta immaginaria superiore quindi con argomento [tex]\frac{\pi}{2}< arg z < \frac{5}{2}\pi[/tex], però svolgendo i quadrati gli integrali con il logaritmo al quadrato non mi si cancellano a vicenda per il fatto che sotto ho [tex]e^{i\frac{arg z}{2}}[/tex] con argomenti diversi...
qualche consiglio? grazie
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