Integrale con residui
Buonasera a tutti,
per l'esame di Metodi Matematici mi è stata assegnata la risoluzione del seguente integrale con il metodo dei residui:
\(\displaystyle \int\limits_0^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^2+2x+2}dx\qquad k>0\;(k\in \mathbb{R}) \)
Ho approcciato il problema alla maniera classica, sostituendo alla funzione integranda l'equivalente complessa:
\(\displaystyle f(z)=\frac{ze^{ikz}}{z^2+2z+2} \)
ricordando che, successivamente, dovrò considerare solo parte immaginaria della soluzione, corrispondente al \( \sin(kx) \). La funzione presenta poli semplici in corrispondenza dei punti:
\(\displaystyle \begin{array}{cc} z_1=-1+i\\ z_2=-1-i\end{array} \)
La difficoltà sorge nella scelta del cammino d'integrazione in quanto la funzione non presenta particolari simmetrie (parità) che mi consentano di estendere l'integrale su un semicerchio simmetrico rispetto all'origine con diametro \([-R,R]\) sull'asse reale. Ho verificato che un tale semicerchio può giacere solo nel semipiano $Im_z>0$ affinché sia possibile applicare il lemma di Jordan (ricordando che $k>0$). Ho eseguito anche il calcolo del residuo attorno al polo $z_1$ (l'unico nel semipiano positivo) ottenendo:
\(\displaystyle Res(f,z_1)=\frac{(-\sin k-\cos k)+i(\cos k-\sin k)}{2e^k} \)
A questo punto mi sorge il dubbio che debba considerare un cammino d'integrazione particolare che coinvolga solo l'intervallo $[0,R]$ (che sarà poi mandato a \(R\to\infty\)) ma che al contempo contenga il polo $z_1$. Ho provato in tutti i modi a eseguire questo calcolo ma senza risultato.
Qualcuno può darmi un input?
per l'esame di Metodi Matematici mi è stata assegnata la risoluzione del seguente integrale con il metodo dei residui:
\(\displaystyle \int\limits_0^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^2+2x+2}dx\qquad k>0\;(k\in \mathbb{R}) \)
Ho approcciato il problema alla maniera classica, sostituendo alla funzione integranda l'equivalente complessa:
\(\displaystyle f(z)=\frac{ze^{ikz}}{z^2+2z+2} \)
ricordando che, successivamente, dovrò considerare solo parte immaginaria della soluzione, corrispondente al \( \sin(kx) \). La funzione presenta poli semplici in corrispondenza dei punti:
\(\displaystyle \begin{array}{cc} z_1=-1+i\\ z_2=-1-i\end{array} \)
La difficoltà sorge nella scelta del cammino d'integrazione in quanto la funzione non presenta particolari simmetrie (parità) che mi consentano di estendere l'integrale su un semicerchio simmetrico rispetto all'origine con diametro \([-R,R]\) sull'asse reale. Ho verificato che un tale semicerchio può giacere solo nel semipiano $Im_z>0$ affinché sia possibile applicare il lemma di Jordan (ricordando che $k>0$). Ho eseguito anche il calcolo del residuo attorno al polo $z_1$ (l'unico nel semipiano positivo) ottenendo:
\(\displaystyle Res(f,z_1)=\frac{(-\sin k-\cos k)+i(\cos k-\sin k)}{2e^k} \)
A questo punto mi sorge il dubbio che debba considerare un cammino d'integrazione particolare che coinvolga solo l'intervallo $[0,R]$ (che sarà poi mandato a \(R\to\infty\)) ma che al contempo contenga il polo $z_1$. Ho provato in tutti i modi a eseguire questo calcolo ma senza risultato.
Qualcuno può darmi un input?
Risposte
A mio parere, l'integrale andava calcolato sull'intero asse reale. Viceversa, la vedo dura. Perfino wolframalpha non riesce ad esprimerlo in termini di funzioni più o meno elementari.
Grazie per la risposta, in ogni caso anche io ho notato che Wolfram non riesce a venirne a capo. Il problema dell'integrare su tutto l'asse reale è che si otterrebbe un "pezzo" di integrale \( ]-\infty,0]\) che non avrei modo successivamente di eliminare per trovare l'integrale richiesto. Ho trovato un testo che suggerisce (in caso di integrali tra 0 e \(+\infty\) di funzioni non pari) di integrare su un settore circolare di ampiezza pari a \( k \), proverà anche questo metodo!
Ok. Tuttavia, temo che in questo caso non sia efficace.
Già, viene qualcosa di molto difficile da trattare anche in quel caso... sono a corto di idee!
Ti conviene chiedere al docente se, nella peggiore delle ipotesi, sia consapevole della difficoltà dell'esercizio, nella migliore, se sia stato semplicemente un refuso.
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