Integrale con modulo del coseno
Devo risolvere questo integrale:
$\int\int (|x| + |y|)/(x^2 +y^2) dx dy$ con $D= {(x,y):1<=x^2+y^2 <= 4}$
Io ho usato un cambiamento di variabile:
$\tilde D = {(\rho,\theta) : 1<= \rho <= 2, 0<=\theta<=2\pi}$
$\int_(\tilde D) \rho (\rho(|cos\theta| + |sin\theta|))/\rho^2 d\rho d\theta=\int_0^(2\pi) |cos\theta|+|sin\theta| d\theta$
L'integrale del coseno dovrebbe essere nullo nell'intervallo, ed anche l'integrale del seno... Ma forse sto trascurando qualcosa ed il risultato(che è 8) non mi potrà mai riuscire...
$\int\int (|x| + |y|)/(x^2 +y^2) dx dy$ con $D= {(x,y):1<=x^2+y^2 <= 4}$
Io ho usato un cambiamento di variabile:
$\tilde D = {(\rho,\theta) : 1<= \rho <= 2, 0<=\theta<=2\pi}$
$\int_(\tilde D) \rho (\rho(|cos\theta| + |sin\theta|))/\rho^2 d\rho d\theta=\int_0^(2\pi) |cos\theta|+|sin\theta| d\theta$
L'integrale del coseno dovrebbe essere nullo nell'intervallo, ed anche l'integrale del seno... Ma forse sto trascurando qualcosa ed il risultato(che è 8) non mi potrà mai riuscire...
Risposte
Ciao. Stai trascurando il modulo, l'integranda è una funzione strettamente positiva e l'integrale non potrà mai essere nullo...
Secondo me ti conviene dividere l'integrale in 4 suddividendo l'intervallo $[0, 2 pi]$ nei quattro angoli retti, in modo da poter, in ciascuno dei quattro integrali, togliere - in modo opportuno - il modulo.
Anzi a pensarci bene non guasterebbe considerare il fatto, abbastanza ovvio se hai in mente i grafici di $y=|\sin x|$ e di $y=|\cos x|$, che: $\int_0^(2\pi) |cos\theta| d\theta=\int_0^(2\pi) |sin\theta| d\theta$, e magari anche qualche altro accorgimento che snellisce un po' i calcoli...
Secondo me ti conviene dividere l'integrale in 4 suddividendo l'intervallo $[0, 2 pi]$ nei quattro angoli retti, in modo da poter, in ciascuno dei quattro integrali, togliere - in modo opportuno - il modulo.
Anzi a pensarci bene non guasterebbe considerare il fatto, abbastanza ovvio se hai in mente i grafici di $y=|\sin x|$ e di $y=|\cos x|$, che: $\int_0^(2\pi) |cos\theta| d\theta=\int_0^(2\pi) |sin\theta| d\theta$, e magari anche qualche altro accorgimento che snellisce un po' i calcoli...
Ho fatto anche io la divisione in angoli retti, ed infatti il risultato viene fuori corretto... Ma vorrei capire perchè invece lasciando l'intervallo completo non riesco a venirne fuori...
Poi forse io ho fatto un passaggio sbagliato(non sono molto sicuro), cioè divido l'intervallo in 4, poi siccome sono uguali, calcolo solo sull'intervallo $[0,\pi/2]$ e moltiplico questo risultato per 4... Spero si possa fare... Così facendo ritrovo 8, ma rimango con il dubbio scritto prima... Perchè se mantengo l'intervallo originale $[0,2\pi]$ mi viene un risultato diverso... Anche perchè quando divido io il modulo lo butto proprio via...
Poi forse io ho fatto un passaggio sbagliato(non sono molto sicuro), cioè divido l'intervallo in 4, poi siccome sono uguali, calcolo solo sull'intervallo $[0,\pi/2]$ e moltiplico questo risultato per 4... Spero si possa fare... Così facendo ritrovo 8, ma rimango con il dubbio scritto prima... Perchè se mantengo l'intervallo originale $[0,2\pi]$ mi viene un risultato diverso... Anche perchè quando divido io il modulo lo butto proprio via...
"Mito125":
Ma vorrei capire perchè invece lasciando l'intervallo completo non riesco a venirne fuori...
Poi forse io ho fatto un passaggio sbagliato(non sono molto sicuro), cioè divido l'intervallo in 4, poi siccome sono uguali, calcolo solo sull'intervallo $[0,\pi/2]$ e moltiplico questo risultato per 4... Spero si possa fare... Così facendo ritrovo 8, ma rimango con il dubbio scritto prima... Perchè se mantengo l'intervallo originale $[0,2\pi]$ mi viene un risultato diverso... Anche perchè quando divido io il modulo lo butto proprio via...
Che io sappia non c'è altro modo (salvo casi particolari) di calcolare un integrale definito, la cui funzione integranda contenga un modulo, se non suddividendolo in una somma di integrali in modo da poter eliminare il modulo in questione, quindi francamente non capisco la tua prima affermazione che ho riportato nella citazione.
Il calcolo di un solo integrale, da $0$ a $pi/2$, con moltiplicazione per $4$ era appunto l'accorgimento cui accennavo prima, mi pare del tutto corretto.
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