Integrale con metodo della sostituzione
Salve utenti! Non riesco a calcolare l'integrale indefinito in dx di $sqrt(x)$ / 1+4x...Io pongo $sqrt(x)$= t e trasformo il tutto in integrale di 2$t^2$dx/1+4$t^2$...qualcuno potrebbe spiegarmi per favore come proseguire?
Risposte
"frieden92":
Salve utenti! Non riesco a calcolare l'integrale indefinito in dx di $sqrt(x)$ / 1+4x...Io pongo $sqrt(x)$= t e trasformo il tutto in integrale di 2$t^2$dx/1+4$t^2$...qualcuno potrebbe spiegarmi per favore come proseguire?
non riesco a capire bene com'è fatto il tuo l'integrale indefinito..
è questo forse? $\int (sqrt(x))/(1+4x)dx $
se è questo la sostituzione è $sqrt(x)=t\rightarrow x=t^2\rightarrow dx=2tdt$
e quindi $\int (t)/(1+4t)\cdot 2t dt$, e da qui dovresti essere in grado, sennò per continuare devo sapere se è esatto l'integrale che ho scritto..
si è lui! Non riesco a farlo comunque..ho tentato facendo la divisione fra polinomi...sotto cmq è $t^2$
Bene, dopo la sostituzione moltiplica e dividi per 2, poi aggiungi e togli 1 al numeratore e dividi come somma di due integrali...
ah già si giusto..sotto è al quardrato..
per cui è questo $\int (2t^2)/(1+4t^2)dt$
ora lo faccio e poi posto qui quello che ho fatto
tranqui,.
per cui è questo $\int (2t^2)/(1+4t^2)dt$
ora lo faccio e poi posto qui quello che ho fatto
tranqui,.
Posso chiederti i passaggi? Non ho molto chiara la situazione..
\( \frac{1}{2}\int \frac{4t^2}{1+4t^2} = \frac{1}{2}\int \frac{4t^2 +1 - 1}{1+4t^2} = \frac{1}{2}(\int \frac{4t^2 +1}{1+4t^2} - \int \frac{1}{1+4t^2} )= \frac{1}{2}(t - \int \frac{1}{1+4t^2} ) = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{2}\int \frac{2}{1+(2t)^2} ) =... \). L'ultimo integrale lo fai utilizzando l'arctan.
naturalmente ci vogliono i dt
naturalmente ci vogliono i dt
"genny77":
\( \frac{1}{2}\int \frac{4t^2}{1+4t^2} = \frac{1}{2}\int \frac{4t^2 +1 - 1}{1+4t^2} = \frac{1}{2}(\int \frac{4t^2 +1}{1+4t^2} - \int \frac{1}{1+4t^2} )= \frac{1}{2}(t - \int \frac{1}{1+4t^2} )\)
naturalmente ci vogliono i dt
sì ci viene uguale.. ah poi si conclude così, se non ho fatto errori..è tutto il giorno che faccio analisi XD
$1/2 t-1/4 \arctan (2t)+C$
Ottimo!
ok a sto punto basta sostituire
$\int f(x)dx=sqrt(x)/2-1/4 \arctan (2sqrt(x))+C$ , ove $f(x)=(sqrt(x))/(1+4x)$
$\int f(x)dx=sqrt(x)/2-1/4 \arctan (2sqrt(x))+C$ , ove $f(x)=(sqrt(x))/(1+4x)$
Non ho ben capito il fatto di aggiungere +1 e -1..come mai li abbiamo aggiunti? è una specie di regoletta?
Applichiamo la proprietá invariantiva.
É un artificio.
É un artificio.
Capisco..grazie mille a entrambe allora!
"frieden92":
Non ho ben capito il fatto di aggiungere +1 e -1..come mai li abbiamo aggiunti? è una specie di regoletta?
praticamente devi far apparire a numeratore la derivata del denominatore!
In realtà puoi fare anche così ( ma il metodo che è stato molto più veloce):
$\int(4t^2)/(1+4t^2)dt$
Riscriviamo questo come una somma:
$(4t^2)/(1+4t^2)=(At+B)/(1+4t^2)+C$
$4t^2=At+B+C+4Ct^2$
$\{(4C=4),(A=0),(B+C=0):}$
$\{(C=1),(A=0),(B=-1):}$
Quindi abbiamo determinato i nostri parametri ed otteniamo:
$-\int 1/(1+4t^2) dt+\int 1 dt$
che in fondo era già noto, ma era giusto per mostrare una strada alternativa nel caso uno si dimentichi di come utilizzare qualche proprietà
$\int(4t^2)/(1+4t^2)dt$
Riscriviamo questo come una somma:
$(4t^2)/(1+4t^2)=(At+B)/(1+4t^2)+C$
$4t^2=At+B+C+4Ct^2$
$\{(4C=4),(A=0),(B+C=0):}$
$\{(C=1),(A=0),(B=-1):}$
Quindi abbiamo determinato i nostri parametri ed otteniamo:
$-\int 1/(1+4t^2) dt+\int 1 dt$
che in fondo era già noto, ma era giusto per mostrare una strada alternativa nel caso uno si dimentichi di come utilizzare qualche proprietà
Grazie Obidream!
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