Integrale con la delta
Vedo su wiki link
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\mbox{d}x=\varphi(0)\]
Se considero \(\delta(x)\) come \(\varphi(x) \mapsto \varphi(0)\) scrivo l'ultimo integrale come
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\mbox{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(0)\mbox{d}x \\
&= \varphi(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\mbox{d}x \\
&= \varphi(0)[x]_{-\infty}^{+\infty} \\
\end{split}
\]
E poi boh. Se utilizzo un surrogato \(s_{\epsilon}\) della distribuzione delta e vado nel limite per \(\epsilon\) tendente a \(0\) la prima formula è corretta e la trovo spesso nel mio libro di fisica. Però come dicevo, se considero la \(\delta\) come distribuzione che associa ad una funzione il suo valore all'origine non viene lo stesso risultato, no?
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\mbox{d}x=\varphi(0)\]
Se considero \(\delta(x)\) come \(\varphi(x) \mapsto \varphi(0)\) scrivo l'ultimo integrale come
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)\mbox{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(0)\mbox{d}x \\
&= \varphi(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\mbox{d}x \\
&= \varphi(0)[x]_{-\infty}^{+\infty} \\
\end{split}
\]
E poi boh. Se utilizzo un surrogato \(s_{\epsilon}\) della distribuzione delta e vado nel limite per \(\epsilon\) tendente a \(0\) la prima formula è corretta e la trovo spesso nel mio libro di fisica. Però come dicevo, se considero la \(\delta\) come distribuzione che associa ad una funzione il suo valore all'origine non viene lo stesso risultato, no?
Risposte
No, perché l'azione della $\delta$ è già l'integrazione, essendo $\delta$ una distribuzione e non una funzione. Per altro la scrittura $\int \varphi \deltadx$ è un abuso (grave secondo me) di notazione: la $\delta$ è già una misura, e l'integrale quindi non è l'integrale rispetto alla misura di Lebesgue, ovvero in $dx$; la scrittura corretta sarebbe $\int \varphi d\delta$.
Non è \(\delta (x)\phi (x) =\phi (0)\)...
"gugo82":Eh, non sono sicuro di avere capito bene questa cosa. La distribuzione \(\delta(x)\) non è l'applicazione \(\delta(x):\varphi (x)\mapsto \varphi (0)\)? Io quando la scrivo in notazione distribuzionale ho \(\langle \delta(x),\varphi (x) \rangle=\varphi (0)\) ma credevo che questo fosse solo un modo per evidenziare la linearità della distribuzione, non un modo per indicare
Non è \(\delta (x)\varphi (x) =\phi (0)\)...
\[
\int\delta(x)\varphi(x)\mbox{d}x=\varphi(0)
\]
dato che, tornando ad esempio nel quadro delle funzioni semplici, se \(\delta(x)\) è una applicazione dal campo al campo, allora l'integrale qui sopra non ha senso perché porta ad un assurdo. Se invece \(\delta(x)\) è un funzionale che agisce su \(\varphi(x)\) allora comunque non riesco a farlo tornare, come ho scritto nel primo post. Quel è la definizione della della delta come distribuzione? Il post di luca è un po' troppo sofisticato per me.
Quella $x$ proprio la devi far sparire, almeno fino a che non integri. La distribuzione $\delta$ manda una funzione test $\varphi$ in $\varphi(0)$: quindi si scrive $< \delta,\varphi > =\varphi(0)$. Equivalentemente si ha
$\int \varphi(x)d\delta(x)=\varphi(0)$
oppure, con abuso di notazione,
$\int \varphi(x)\delta(x)dx=\varphi(0)$.
$\int \varphi(x)d\delta(x)=\varphi(0)$
oppure, con abuso di notazione,
$\int \varphi(x)\delta(x)dx=\varphi(0)$.
"Luca.Lussardi":
Quella $x$ proprio la devi far sparire, almeno fino a che non integri. La distribuzione $\delta$ manda una funzione test $\varphi$ in $\varphi(0)$: quindi si scrive $< \delta,\varphi > =\varphi(0)$. Equivalentemente si ha
$\int \varphi(x)d\delta(x)=\varphi(0)$
oppure, con abuso di notazione,
$\int \varphi(x)\delta(x)dx=\varphi(0)$.
All'ottimo discorso di Luca aggiungo che al simbolo \(\delta (x)\phi (x)\) non si attribuisce alcun significato "puntuale".
"Luca.Lussardi":Ecco, quindi l'integrale così come scritto in op non ha alcun senso. Con abuso di notazione si scrive \(\delta(x)\varphi(x)=\varphi(0)\) ma diciamo che è chiaro il significato della \(x\) dentro la delta. L'abuso di notazione che si usa con l'integrale invece lo capisco adesso. Non si da alcuna spiegazione e si assume che esista una \(\delta\) dentro \(\int\) che manda la funzione all'origine ma in realtà il blocco \(\int \mbox{d}x \delta(x) \) è tutt'altra cosa, come dice luca. Non capisco il motivo di questa complicazione, perché scrivere \(\int \delta(x)f(x)\mbox{d}x=f(0)\) quando invece \(\delta f(x)=f(0)\) sarebbe chiaro a tutti?
Quella $x$ proprio la devi far sparire, almeno fino a che non integri. La distribuzione $\delta$ manda una funzione test $\varphi$ in $\varphi(0)$: quindi si scrive $< \delta,\varphi > =\varphi(0)$. Equivalentemente si ha
$\int \varphi(x)d\delta(x)=\varphi(0)$
oppure, con abuso di notazione,
$\int \varphi(x)\delta(x)dx=\varphi(0)$.
"5mrkv":
Con abuso di notazione si scrive \(\delta(x)\varphi(x)=\varphi(0)\)
Ma no.
Il simbolo \(\delta (x)\phi (x)\) non ha alcun significato.
"5mrkv":
L'abuso di notazione che si usa con l'integrale invece lo capisco adesso. Non si da alcuna spiegazione e si assume che esista una \(\delta\) dentro \(\int\) che manda la funzione all'origine ma in realtà il blocco \(\int \mbox{d}x \delta(x) \) è tutt'altra cosa, come dice luca. Non capisco il motivo di questa complicazione, perché scrivere \(\int \delta(x)f(x)\mbox{d}x=f(0)\) quando invece \(\delta f(x)=f(0)\) sarebbe chiaro a tutti?
L'integrale si usa perchè per gli ingegneri è comodo: infatti, evita di distinguere tra una distribuzione regolare e la funzione di \(L_{loc}^1\) da cui essa proviene.
L'unico contro è che le distribuzioni singolari, come appunto quella di Dirac, devono essere trattate con un abuso di notazione.
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