Integrale con il teorema dei residui

[profumo_colorato]

Salve.
Devo svolgere questo esercizio ma ho qualche difficoltà:
Sia $gamma(t)=re^(it), 0<=t<=2pi$. Calcola $\int_{gamma} (sin^2 z)/(x^7) dz$. Fare lo stesso con $sigma(t)=re^(-3it)$ al posto di $gamma(t)$.
Svolgo questo integrale con il teorema dei residui, quindi:
$\int_{gamma} (sin^2 z)/(x^7) dz= 2 i pi Rf(0)$
Devo calcolare il residuo. So che $Rf(0)=a_(-1)$. Trovo $a_(-1)$ facendo lo sviluppo in serie di $(sin^2 z)/z^7$.
Ho $f(z)=1/z^5-1/((3!)^2z)+z^2/(5!)^2-...$
Primo dubbio: lo sviluppo in serie del $sin^2 x$ è lo stesso del $sin x$ elevando ogni termine al quadrato?
Se lo sviluppo in serie è fatto bene, il residuo dovrebbe essere $1/(3!)^2 = 1/36$.
Quindi $\int_{gamma} (sin^2 z)/(x^7) dz = pi i 18$.
Non sono molto convinta che quest'ultimo passaggio sia del tutto corretto...
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie!

[wnvl]

"profumo_colorato":
Primo dubbio: lo sviluppo in serie del $sin^2 x$ è lo stesso del $sin x$ elevando ogni termine al quadrato?

No.

Puoi usare

$sin^2(z)=\frac{1-\cos(2z)}{2}$

per calcolare lo sviluppo in serie.

[profumo_colorato]

Grazie!
In questo modo quindi ho che $f(z)=1/z^5-2/z^3+...$ e quindi $Rf(0)=1$.
Quindi l'integrale è semplicemente $\int_{gamma} (sin^2z)/z^7 dz=2 pi i$?
Nell'altro caso è $\int_{gamma} (sin^2z)/z^7 dz=-6 pi i$?

[profumo_colorato]

Qualcuno può indicarmi testi o appunti su cui io possa trovare esercizi simili già svolti?
Grazie!