Integrale con i residui
Devo risolvere il seguente integrale
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\cosh x}dx
\]
L'esercizio suggerisce di integrare lungo il cammino rappresentato dal rettangolo di vertici $(-R,0),(R,0),(R,R+\pi i), (-R,-R+\pi i)$.
Ho riscritto l'integrale come
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{2x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}dx
\]
E successivamente opero la seguente sostituzione $x=e^{p}$ ottengo
\[
J=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2e^{3p}}{e^{e^{p}}+e^{-e^{p}}}dp
\]
Considero la funzione complessa
\[
f(z)=\frac{2e^{3z}}{e^{e^{z}}+e^{-e^{z}}}
\]
A questo punto osservo che parametrizzando il segmento $([-R+\pi i,R+\pi i]$ nel modo seguente $z(t)=t+\pi i, \qquad t \in [-R,R]$ ottengo che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}\frac{2e^{3(t+\pi i)}}{e^{e^{(t+\pi i)}}+e^{-e^{(t+\pi i)}}}dt
\]
svolgendo i conti ho che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(z)dz
\]
ho inoltre verificato che l'integrale lungo i lati verticali del rettangolo si annulla per $R \to +\infty$ e quindi ho che
\[
2J=2\pi i Res(f(z),w)
\]
dove $w$ rappresenta i poli contenuti all'interno del cammino di integrazione.
A questo punto ho delle serie difficoltà a calcolare i poli di $f(z)$ data la forma del denominatore. Mi è però venuta un'idea che però ho paura che possa essere un'oscenità: se mi calcolo i poli della funzione ottenuta "complessificando " la funzione originaria? Intendo se calcolo i poli di
\[
g(z)=\frac{z^{2}}{\cosh z}
\]
e mi calcolo i residui in quelli contenuti all'interno del rettangolo e li utilizzo per il calcolo dell'integrale il procedimento è corretto? Lo chiedo perché così facendo il risultato si avvicina abbastanza a quello proposto, tanto da farmi illudere di essere sulla strada giusta.
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\cosh x}dx
\]
L'esercizio suggerisce di integrare lungo il cammino rappresentato dal rettangolo di vertici $(-R,0),(R,0),(R,R+\pi i), (-R,-R+\pi i)$.
Ho riscritto l'integrale come
\[
I=\int_{0}^{+\infty}\frac{2x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}dx
\]
E successivamente opero la seguente sostituzione $x=e^{p}$ ottengo
\[
J=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2e^{3p}}{e^{e^{p}}+e^{-e^{p}}}dp
\]
Considero la funzione complessa
\[
f(z)=\frac{2e^{3z}}{e^{e^{z}}+e^{-e^{z}}}
\]
A questo punto osservo che parametrizzando il segmento $([-R+\pi i,R+\pi i]$ nel modo seguente $z(t)=t+\pi i, \qquad t \in [-R,R]$ ottengo che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}\frac{2e^{3(t+\pi i)}}{e^{e^{(t+\pi i)}}+e^{-e^{(t+\pi i)}}}dt
\]
svolgendo i conti ho che
\[
\int_{[-R+\pi i,R+\pi i]}f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(z)dz
\]
ho inoltre verificato che l'integrale lungo i lati verticali del rettangolo si annulla per $R \to +\infty$ e quindi ho che
\[
2J=2\pi i Res(f(z),w)
\]
dove $w$ rappresenta i poli contenuti all'interno del cammino di integrazione.
A questo punto ho delle serie difficoltà a calcolare i poli di $f(z)$ data la forma del denominatore. Mi è però venuta un'idea che però ho paura che possa essere un'oscenità: se mi calcolo i poli della funzione ottenuta "complessificando " la funzione originaria? Intendo se calcolo i poli di
\[
g(z)=\frac{z^{2}}{\cosh z}
\]
e mi calcolo i residui in quelli contenuti all'interno del rettangolo e li utilizzo per il calcolo dell'integrale il procedimento è corretto? Lo chiedo perché così facendo il risultato si avvicina abbastanza a quello proposto, tanto da farmi illudere di essere sulla strada giusta.
Risposte
"maxsiviero":
Mi è però venuta un'idea che però ho paura che possa essere un'oscenità: se mi calcolo i poli della funzione ottenuta "complessificando " la funzione originaria? Intendo se calcolo i poli di
\[
g(z)=\frac{z^{2}}{\cosh z}
\]
e mi calcolo i residui in quelli contenuti all'interno del rettangolo e li utilizzo per il calcolo dell'integrale il procedimento è corretto? Lo chiedo perché così facendo il risultato si avvicina abbastanza a quello proposto, tanto da farmi illudere di essere sulla strada giusta.
Questo secondo metodo è certamente corretto e mi sembra essere la strada più conveniente. Se ben ricordo, questo esercizio non l'avevo terminato, avevo sbagliato qualche conto e non ho più trovato il tempo (e la voglia
) di rimettermi lì a fare i conti. Prova un po', se non ti torna il risultato fammi un fischio che provo a rifarlo anche io.
Ok, provo a fare i calcoli e vedo se i viene. Grazie mille!
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