Integrale con funzioni iperboliche

[frod]

Salve a tutti!
Studiando meccanica analitica (sul Landau Lifsits, Meccanica) mi sono imbattuto in un problema che porta ad un integrale che non riesco a risolvere (funzioni iperboliche ).
Il problema chiede di calcolare il periodo di oscillazione in funzione dell'energia $E$ di una particella di massa $m$ in un campo con energia potenziale data da $\U(x) = \frac{\-U_0}{\cosh^2(\alpha x)}$ con $-U_0 < E < 0$

L'integrale da risolvere è questo:
$T = 2\sqrt{2m} \int_0^{x_1} \frac{dx}{\sqrt{E + \frac{U_0}{\cosh^2(\alpha x)}}}$

dove $x_1$ è una soluzione dell'equazione $U(x) = E$

grazie.

[j18eos]

Se \(\displaystyle\alpha=0\) allora \(\displaystyle\cosh^2(\alpha x)=1\) e non c'è problema!

Senza ledere la generalità, puoi supporre \(\displaystyle\alpha>0\) e potresti utilizzare l'eguaglianza: \(\displaystyle\frac{1}{\cosh^2x}=1-\tanh^2\).

[frod]

E dopo? Passando alla tangente poi trovare belle sostituzioni che trasformino "bene" gli estremi di integrazione diventa un problema...
All'inizio lo si può riscrivere così:

$T = 2\sqrt{2m} \int_0^{x_1} \frac{dx}{\sqrt{E + \frac{U_0}{\cosh^2(\alpha x)}}} = \frac{2\sqrt{2m}}{\alpha\sqrt{|E|}} \int_0^{\alpha x_1} \frac{dx}{\sqrt{1 + \frac{U_0}{E}\frac{1}{\cosh^2(x)}}}$

e dopo fare una qualche sostituzione magica che semplifica il tutto...