Integrale con arcotangente

[nicola9804]

Buonasera a tutti, sto preparando l'esame di analisi 1 e mi sono imbattuto in questo integrale:
$\int arctan(x^3) dx$ .
Ho provato a procedere per parti prendendo come funzione da integrare g'(x) = 1 ma nella formula di integrazione per parti trovo l ' integrale:
$\int (3x^3)/(1+x^6) dx$ e non riesco ad andare avanti. Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Nicola9804,

Credo che tu sia sulla strada giusta, infatti integrando per parti si ha:

$\int arctan(x^3) dx = x arctan(x^3) - \int \frac{3x^3}{x^6 + 1} dx $

Il fatto è che l'ultimo integrale è piuttosto laborioso...
Comincerei col porre $t := x^2 \implies dt = 2x dx \implies t dt = 2x^3 dx $

[seb1]

No, dai, fortunatamente non è poi così laborioso. Partendo dalla sostituzione consigliata da pilloeffe si ha \(\frac{3}{2}\int t(1+t^3)^{-1}\mathrm{d}t\) che scomponendo in fratti semplici diviene \(\frac{1}{2}\int\left(\frac{t-1}{t^2-t+1}+\frac{2}{t^2-t+1}-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t\). Tralasciando le soluzioni degli integrali immediati non rimane che risolvere\[\int\frac{1}{t^2-t+1}\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{3}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)+k,\>k\in\mathbb{R}}\]Una volta tornati alla variabile iniziale abbiamo concluso.