Integrale complesso
Salve ragazzi, questa volta chiedo aiuto perché non riesco a svolgere un integrale complesso (che in teoria dovrebbe essere semplice!).
L'integrale in questione è: $int_(-oo)^(oo) xsin(pix)/(1-x^2) dx $, e secondo wolfram dovrebbe fare $pi$.
Ciò che non capisco è come fare l'integrale tra $-oo$ e $+oo$ sull'asse reale se ci sono per l'appunto due poli proprio lì! La funzione è pari, quindi ho pensato di fare un percorso che prenda un quarto di circonferenza sul primo quadrante, l'asse immaginario positivo, e due tratti sull'asse reale separati dalla discontinuità (circondata da una semicirconferenza), tuttavia l'integrale sul quarto di circonferenza va ad infinito, e l'integrale sul percorso immaginario non è facilmente risolvibile. Qualcuno di voi può mostrarmi come svolgerlo semplicemente?
L'integrale in questione è: $int_(-oo)^(oo) xsin(pix)/(1-x^2) dx $, e secondo wolfram dovrebbe fare $pi$.
Ciò che non capisco è come fare l'integrale tra $-oo$ e $+oo$ sull'asse reale se ci sono per l'appunto due poli proprio lì! La funzione è pari, quindi ho pensato di fare un percorso che prenda un quarto di circonferenza sul primo quadrante, l'asse immaginario positivo, e due tratti sull'asse reale separati dalla discontinuità (circondata da una semicirconferenza), tuttavia l'integrale sul quarto di circonferenza va ad infinito, e l'integrale sul percorso immaginario non è facilmente risolvibile. Qualcuno di voi può mostrarmi come svolgerlo semplicemente?
Risposte
Nessuno in grado di farlo? 
Applicando la regola dell'Hopital hai...
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{1-x} = \lim_{x \rightarrow 1} - \pi\ \cos \pi x = \pi$
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sin \pi x}{1+x} = \lim_{x \rightarrow -1} \pi\ \cos \pi x = - \pi$
... per cui la f(z) non ha poli di nessun ordine. Il percorso di integrazione puo' essere l'usuale 'grande semicerchio' combinato con due 'piccoli semicerchi' centrati in z=1 e z=-1...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{1-x} = \lim_{x \rightarrow 1} - \pi\ \cos \pi x = \pi$
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{\sin \pi x}{1+x} = \lim_{x \rightarrow -1} \pi\ \cos \pi x = - \pi$
... per cui la f(z) non ha poli di nessun ordine. Il percorso di integrazione puo' essere l'usuale 'grande semicerchio' combinato con due 'piccoli semicerchi' centrati in z=1 e z=-1...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ciao! Hai calcolato i residui ma per il resto il ragionamento non mi torna.
L'integrale sul grande semicerchio viene infinito.. poi il percorso sull'asse reale esclude i poli, non puoi applicare il teorema dei residui o sbaglio?
L'integrale sul grande semicerchio viene infinito.. poi il percorso sull'asse reale esclude i poli, non puoi applicare il teorema dei residui o sbaglio?
Occorre calcolare l'integrale sulla base del limite seguente...
$\lim_{ r \rightarrow 0,\ R \rightarrow \infty} \int_{C} f(z)\ dz$ (1)
... ove $f(z)= \frac{z\ e^{i\ z}}{1-z^{2}}$ e C e' il percorso in figura di colore rosso...
[img]http://www.123homepage.it/u/i65741483._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Dal momento che e'...
$|f(e^{i\ R\ \theta}) = |\frac{e^{i\ R\ \theta}}{1- e^{2\ i\ R\ \theta}}|\ e^{- R\ \theta} < \frac{M}{R^{k}},\ K>0$ (2)
... per il lemma di Jordan l'integrale lungo il 'grande semicerchio' tende a zero se R tende a infinito. Per qualsiasi valore positivo di R e r i poli della f(z) sono esterni al percorso e pertanto l'integrale (1) vale zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{ r \rightarrow 0,\ R \rightarrow \infty} \int_{C} f(z)\ dz$ (1)
... ove $f(z)= \frac{z\ e^{i\ z}}{1-z^{2}}$ e C e' il percorso in figura di colore rosso...
[img]http://www.123homepage.it/u/i65741483._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
Dal momento che e'...
$|f(e^{i\ R\ \theta}) = |\frac{e^{i\ R\ \theta}}{1- e^{2\ i\ R\ \theta}}|\ e^{- R\ \theta} < \frac{M}{R^{k}},\ K>0$ (2)
... per il lemma di Jordan l'integrale lungo il 'grande semicerchio' tende a zero se R tende a infinito. Per qualsiasi valore positivo di R e r i poli della f(z) sono esterni al percorso e pertanto l'integrale (1) vale zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Scusami ma se per il lemma di jordan l'integrale sul grande semicerchio fa zero, e dato che gli integrali sui piccoli semicerchi fan zero, ciò non vuol dire che:
$int_(l_1)^() f(z) dz + int_(l_2)^() f(z) dz + int_(l_3)^() f(z) dz = 0$
... dove $l_1$, $l_2$ ed $l_3$ sono i tre percorsi sull'asse reale? In tal caso, dato che non ci sono fasi da inserire, l'integrale farebbe zero invece di $pi$, che è la sua soluzione..
Grazie per l'aiuto!
$int_(l_1)^() f(z) dz + int_(l_2)^() f(z) dz + int_(l_3)^() f(z) dz = 0$
... dove $l_1$, $l_2$ ed $l_3$ sono i tre percorsi sull'asse reale? In tal caso, dato che non ci sono fasi da inserire, l'integrale farebbe zero invece di $pi$, che è la sua soluzione..
Grazie per l'aiuto!
Ah ho capito il mio errore, gli integrali sulle mini semi-circonferenze non fanno zero ma $pi*i/2$ ciascuno, quindi torna tutto. Grazie. 
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