Integrale come somma di una serie
Ciao a tutti, qualcuno gentilmente sa come si risolve questo esercizio?
Scrivere il seguente integrale come somma di una serie:
\( \int_{0}^{1/2} \sqrt(1+4x^4)\) dx
Grazie mille a tutti.
Scrivere il seguente integrale come somma di una serie:
\( \int_{0}^{1/2} \sqrt(1+4x^4)\) dx
Grazie mille a tutti.
Risposte
Ovviamente è tutto quanto sotto radice, ma non sono riuscito a scriverlo in maniera corretta 
Conosci lo sviluppo di Taylor di $\sqrt{1+t}$?
Se non erro è dato da:
$\ 1 + 1/2t + sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-3)!!)/((2n)!!) t^n$
è giusto?
$\ 1 + 1/2t + sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-3)!!)/((2n)!!) t^n$
è giusto?
Sì, almeno mi pare si esplicitino così i coefficienti. Io lo avrei scritto come
$$\sqrt{1+t}=\sum_{n=0}^\infty\left(\begin{array}{c} 1/2\\ n\end{array}\right) t^n$$
ma è lo stesso. Ora, prova a sostituire $\sqrt{1+4x^4}$ con il suo sviluppo, e vedi cosa riesci a scrivere.
$$\sqrt{1+t}=\sum_{n=0}^\infty\left(\begin{array}{c} 1/2\\ n\end{array}\right) t^n$$
ma è lo stesso. Ora, prova a sostituire $\sqrt{1+4x^4}$ con il suo sviluppo, e vedi cosa riesci a scrivere.
In pratica ho poi sostituito $t$ con $4x^4$ ottenendo $\ 1 + 1/2*4x^4 + sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-3)!!)/((2n)!!) 4^nx^(4n)$
In seguito applico il teorema di integrazione termine a termine e quindi ottengo:
$\ 6/5 + sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-3)!!)/((2n)!!) 4^n/[(4n+1)2^(4n+1)]$
ma è giusto? non riesco ad avere un riscontro per capire se svolgo correttamente.
EDIT: non avevo visto la tua risposta, stavo ancora scrivendo
In seguito applico il teorema di integrazione termine a termine e quindi ottengo:
$\ 6/5 + sum_(n = 2)^(+oo) (-1)^(n-1) ((2n-3)!!)/((2n)!!) 4^n/[(4n+1)2^(4n+1)]$
ma è giusto? non riesco ad avere un riscontro per capire se svolgo correttamente.
EDIT: non avevo visto la tua risposta, stavo ancora scrivendo
Sì, è quello che devi fare. Sto pensando se questa cosa si possa scrivere in maniera più compatta, visto che alla fin fine quell'integrale si calcola benissimo.
Ti ringrazio, allora approfitto nel chiederti anche un altro esercizio, simile al primo:
Scrivere il seguente integrale come somma di una serie:
$int_{0}^{1/2} 1/sqrt(1+4x^4) dx$
Applico lo sviluppo di Taylor di $1/sqrt(1+t)$=$sum_(n=0)^(+oo)( (-1/2),(n)) t^n$
Lo esplicito in $1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) t^n$
Sostituisco $t=4x^4$ e ottengo $1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n x^(4n)$
Ora applico al solito il teorema di integrazione termine a termine ed ottengo infine:
$1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n /[(4n+1)2^(4n+1)]$
Ora il problema è che di questo esercizio ho la soluzione, che però risulta essere diversa: prima della sommatoria invece di $1$ dovrei avere $1/2$, in pratica $1/2 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n /[(4n+1)2^(4n+1)]$ ma non riesco a capire perchè, da qui i miei dubbi sui calcoli relativi anche all'esercizio precedente di cui non ho soluzione.
Scrivere il seguente integrale come somma di una serie:
$int_{0}^{1/2} 1/sqrt(1+4x^4) dx$
Applico lo sviluppo di Taylor di $1/sqrt(1+t)$=$sum_(n=0)^(+oo)( (-1/2),(n)) t^n$
Lo esplicito in $1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) t^n$
Sostituisco $t=4x^4$ e ottengo $1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n x^(4n)$
Ora applico al solito il teorema di integrazione termine a termine ed ottengo infine:
$1 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n /[(4n+1)2^(4n+1)]$
Ora il problema è che di questo esercizio ho la soluzione, che però risulta essere diversa: prima della sommatoria invece di $1$ dovrei avere $1/2$, in pratica $1/2 + sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^(n) ((2n-1)!!)/((2n)!!) 4^n /[(4n+1)2^(4n+1)]$ ma non riesco a capire perchè, da qui i miei dubbi sui calcoli relativi anche all'esercizio precedente di cui non ho soluzione.
$\int 1\ dx=[x]_0^{1/2}=1/2$.
Pardon, non so perchè ma portavo fuori dall'integrale l'1 senza appunto integrarlo. Grazie mille!
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