Integrale, come si risolve?

[Cremo2]

Buongiorno a tutti, ho un problema con questo integrale(è tra o e π/2, non riesco a scrivere gli estremi nella formula..).
So che deve risultare arctotangente di... ma non mi riesce.

$int_0^πcos(x)/sqrt(40-sen^2(x))text{d}x$

Io sostituisco $sen(x)=t$ e ottengo: $cos(x)=dt$ e l'integrale diventa $int_0^π 1/sqrt(40-t^2)text{d}t$

è più semplice ma io proprio non riesco a capire come risolverlo, l'arcotangente di qualcosa io non la vedo...
Grazie mille a tutti!

[smaug1]

se $int cos(x)/sqrt(40-sen(x)) dx$ perchè parli di arcotangente? Forse si può fare così:

$t = 40 - \sin x $

$dt= -\cos x dx$

Quindi il tutto ti viene $ - \int 1 / \sqrt{t} = -2 \sqrt{t} = -2 \sqrt{40 - \sin x} + c$

[Raptorista1]

Alternativamente, la soluzione che hai proposto va bene: al punto a cui sei arrivato, la tua integranda è elementare, infatti puoi riscriverla facilmente nella forma \(f(x)^\alpha \cdot f'(x)\).

RICORDATI di cambiare gli estremi di integrazione quando fai il cambio di variabile!

[Cremo2]

Scusate ma ho scritto male l'integrale, dovrebbe esserci l'arcotangente perchè è $sen^2(x)$ e diventa:

$int_0^πcos(x)/sqrt(40-sen^2(x))text{d}x$

Io sostituisco $sen(x)=t$ e ottengo: $cos(x)=dt$ e l'integrale diventa $int_0^π 1/sqrt(40-t^2)text{d}t$

Dovrei ottenere una cosa del tipo $(f'(x))/(1+f^2(x))$ che mi da l'arcotangente di... ma non capisco come...

Grazie a tutti.

[Raptorista1]

Così com'è scritto non mi sembra che ci sia un'arctangente, piuttosto una funzione arco simile..

[Cremo2]

Anch'io non capisco come si arrivi ad un'arcotangente,non capivo come risolverlo ed ho provato a vedere il risultato risolvendolo con la calcolatrice ed il risultato che mi da è:
$int_0^π 1/sqrt(40-t^2)text{d}t$ = $arctan (t/sqrt(40-t^2))$ da cui $arctan ((sen(x))/sqrt(40-(sen(x))^2))$

Che sia impazzita la mia calcolatrice? Non mi ha mai dato problemi su nessun integrale...

[Lorin1]

metti in evidenza sotto la radice il 40 e vedi che con qualche passaggio dovresti arrivare a
$1/sqrt(40)int1/sqrt(1-(t/sqrt(40))^2)dt$
prova a proseguire tu...

[Cremo2]

Se ho capito dovrebbe essere:

$int_0^Picos(x)/sqrt(40-sen^2(x))text{d}x$ se $sen(x)=t$ allora $int_0^1 cos(x)/sqrt(40-t^2(x))*dt/cos(x)$

$=$ $int_0^1 1/sqrt(40-t^2)text{d}t$ $=$$int_0^1 1/sqrt(40*(1-(t^2)/40))text{d}t$ $=$ $int_0^1 1/sqrt(40*(1-((t)/sqrt(40))^2))text{d}t$ $=$ $1/sqrt(40)*int_0^1 1/sqrt((1-((t)/sqrt(40))^2))text{d}t$

Poi so che la derivata di $t/sqrt(40)$ è $sqrt(40)/40$ da cui $1/sqrt(40)*int_0^1 (sqrt(40)/40)/(sqrt(1-((t)/sqrt(40))^2))*1/(sqrt(40)/40)text{d}t$ $=$ $1/sqrt(40)*40/sqrt(40)int_0^1 (sqrt(40)/40)/(sqrt(1-((t)/sqrt(40))^2))text{d}t$
$=$ $int_0^1 (sqrt(40)/40)/(sqrt(1-((t)/sqrt(40))^2))text{d}t$ $=$ $arcsen(t/sqrt(40)) +c$

Gli estremi di integrazione erano $[0,Pi/2]$avendo sostituito $t=sen(x)$ diventano $[0,1]$ da cui trovo

$arcsen(1/sqrt(40)) - arcsen(0)$ $=$ $arcsen(1/sqrt(40))$

Esatto?

[Lorin1]

Si si...