Integrale col teorema dei residui (studio singolarità)
In un esame di metodi matematici per l'ingegneria ho dovuto risolvere questo integrale:
$ \int (1-(sin(pi*z)^4)) / ( (e^(j*pi*z) + j) * (4z^2-1)^2 ) dz $ nel dominio rappresentato da $ |z-1| < 2 $.
Ho trovato tre singolarità nel dominio per la funzione in esame:
$ 1/2 $, che è una singolarità eliminabile, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e per il denominatore
$ -1/2 $, che è un polo di I ordine, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 3 per il denominatore
$ 3/2 $, che è una singolarita eliminabile, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore
Da qui ho quindi calcolato il residuo in $ -1/2 $. Volevo sapere se lo studio delle singolarità era fatto bene.
$ \int (1-(sin(pi*z)^4)) / ( (e^(j*pi*z) + j) * (4z^2-1)^2 ) dz $ nel dominio rappresentato da $ |z-1| < 2 $.
Ho trovato tre singolarità nel dominio per la funzione in esame:
$ 1/2 $, che è una singolarità eliminabile, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e per il denominatore
$ -1/2 $, che è un polo di I ordine, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 3 per il denominatore
$ 3/2 $, che è una singolarita eliminabile, perché è uno zero di ordine 2 per il numeratore e di ordine 1 per il denominatore
Da qui ho quindi calcolato il residuo in $ -1/2 $. Volevo sapere se lo studio delle singolarità era fatto bene.
Risposte
scusami, non capisco da dove ti vengono fuori le singolarità in $ +-1/2 $.. Al denominatore
$(4z-1)^2 =0 -> z = 1/4 "polo doppio" $
$e^(i pi z) = -i -> z= 3/2 +2k $
$(4z-1)^2 =0 -> z = 1/4 "polo doppio" $
$e^(i pi z) = -i -> z= 3/2 +2k $
"pater46":
scusami, non capisco da dove ti vengono fuori le singolarità in $ +-2 $.. Al denominatore
$(4z-1)^2 =0 -> z = 1/4 "polo doppio" $
Scusa ho commesso un errore nella scrittura della funzione. Al denominatore in parentesi non c'è $ 4z- 1 $ ma $ 4z^2 - 1 $.
Scusami, nel frattempo avevo aggiornato la risposta. Mmm al numeratore hai zeri per:
$sin(pi z)^4 = 1 -> sin(pi z) = 1 -> pi z = pi/2 + 2k pi -> z = 1/2 + 2k$
Per l'ordine:
$ f'(z) = (1-sin(pi z))' = -cos(pi z) = 0 -> pi z = pi/2 + k pi -> z = 1/2 + k $
$ f''(z) = (-cosz)' = sinz = 0 -> z = kpi $
Ergo sono di ordine 2.
Mentre trascurando il numeratore, la funzione avrebbe singolarità per:
$4z^2 -1=0 -> z = +-1/2 $ poli singoli
$e^(i pi z) = -i -> ... -> z = 3/2 + 2k$ poli singoli
Ovvero sono:
$ -1/2 "polo doppio" $
$ 1/2 "polo singolo" $
$ 3/2 + 2k - { +-1/2 } "poli singoli" $
Ergo nella nostra funzione se non ho detto fesserie sono tutte singolarità fittizie.
$sin(pi z)^4 = 1 -> sin(pi z) = 1 -> pi z = pi/2 + 2k pi -> z = 1/2 + 2k$
Per l'ordine:
$ f'(z) = (1-sin(pi z))' = -cos(pi z) = 0 -> pi z = pi/2 + k pi -> z = 1/2 + k $
$ f''(z) = (-cosz)' = sinz = 0 -> z = kpi $
Ergo sono di ordine 2.
Mentre trascurando il numeratore, la funzione avrebbe singolarità per:
$4z^2 -1=0 -> z = +-1/2 $ poli singoli
$e^(i pi z) = -i -> ... -> z = 3/2 + 2k$ poli singoli
Ovvero sono:
$ -1/2 "polo doppio" $
$ 1/2 "polo singolo" $
$ 3/2 + 2k - { +-1/2 } "poli singoli" $
Ergo nella nostra funzione se non ho detto fesserie sono tutte singolarità fittizie.
Allora io mi trovo che:
$ 1/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine due per il denominatore (per $(4z^2 - 1)^2$). Quindi è una singolarità eliminabile.
$ -1/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine tre per il denominatore (per $(4z^2-1)^2$ e per $(e^(i*pi*z)+j)$). Quindi è un polo del primo ordine.
$ 3/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine uno per il denominatore (per $(e^(i*pi*z)+j)$). Quindi è una singolarità eliminabile.
Gli altri $ 3/2 + 2k $ sono invece fuori dal dominio e quindi non li ho proprio considerati.
$ 1/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine due per il denominatore (per $(4z^2 - 1)^2$). Quindi è una singolarità eliminabile.
$ -1/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine tre per il denominatore (per $(4z^2-1)^2$ e per $(e^(i*pi*z)+j)$). Quindi è un polo del primo ordine.
$ 3/2 $ è uno zero di ordine due per il numeratore e di ordine uno per il denominatore (per $(e^(i*pi*z)+j)$). Quindi è una singolarità eliminabile.
Gli altri $ 3/2 + 2k $ sono invece fuori dal dominio e quindi non li ho proprio considerati.
Ah ok era al quadrato, si allora è come noti tu.
Non dovrebbero esserci errori allora imho!
Non dovrebbero esserci errori allora imho!
Speriamo bene allora.
Ti farò sapere quando avrò il risultato
Ti farò sapere quando avrò il risultato
Ok, era corretto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo