Integrale che mi crea problemi (magari facile

[simonbz]

qualcuno sa risolvere questo integrale?

integrale tra 0 e 1 di:

x^2/(rad(1+x^2))


grazie mille


ciao

[Camillo]

Prova a farlo per sostituzione , ponendo :
x= Sh t ( seno iperbolico di t ) da cui : t = arcSh x ed anche : dx = Ch t e poi probabilmente sarà da fare per parti negli ultimi passaggi.
ciao
Camillo

[simonbz]

grazie provo così

[simonbz]

niente da farese qualcuno riesce a scriverlo con i passaggi gliene sarei molto grato.

Grazie mille, inoltre questo integrale è solo un pezzo di uno iniziato tempo fa a cui sono arrivato dopo varie sostituzioni e cambi di variabile...


grazie di nuovo

[Camillo]

Integrale definito
Iniziamo a calcolare prima l'integrale indefinito di (x^2/sqrt(1+x^2)).
Pongo, usando il metodo di sostituzione :
x = Sh t e quindi : t = arc Sh x = ln(x+sqrt(1+x^2)):per quest'ultima relazione vedi in fondo.
inoltre è : dx = Ch t *dt( nel mio precedente post c'era un errore)
per cui l'integrale da calcolare diventa :
x^2/sqrt(1+x^2) = (Sh t)^2* Ch t*dt /Ch t e quindi ottengo :
(Sh t) ^ 2 da integrare .
Adesso integro per parti e scrivo:
integrale ( Sh t * D Ch t)*dt = Sh t * Ch t - integrale (Ch t)^2*dt:
ora essendo : (Ch t)^2 = (Sh t)^2+1 si ottiene per l'integrale precedente :
Sh t * Ch t -integrale ( (Sh t)^2 +1)*dt e quindi :
Sh t *Ch t -integrale((Sh t)^2*dt) -t .
Allora essendo :
integrale ( (Sh t)^2*dt = Sh t *Ch t -integrale ((Sh t)^2*dt -t si ottiene alla finre :

integrale ((Sh t)^2*dt) = 1/2*(Sh t *Ch t -t).
Ricordando che :
Sh t = x ; Ch t =sqrt( 1+(Sh t)^2) = sqrt(1+x^2) e infine che :
t= ln(x+sqrt(1+x^2)) si ottiene da calcolare tra 0 e 1 :
1/2(x*sqrt(1+x^2)- ln(x+sqrt(1+x^2) e finalmente:

1/2*[1*sqrt(2)-ln(1+sqrt(2)]-1/2*(0-ln 1 ) = 1/2*[sqrt(2)-ln(1+sqrt(2)] .

ciao
Camillo

N.B. : t= arcSh x = ln(x+sqrt(1+x^2)) si ottiene osservando che :

e^t = Sh t + Ch t (basta ricordare la definizione di Sh t e di Ch t)
da cui poi : e^t = x+sqrt(1+x^2), essendo : Ch t = sqrt( 1+(Sh x)^2) e infine , facendo il logaritmo di entrambi i membri si ha :
t = ln ( x+sqrt(1+x^2))

[simonbz]

Grazie mille, un mito

[òneiros1]

Se ti interessa c'è un altro sistema per risolvere l'integrale, ponendo:
sqrt(x^2+1) a (x+t); da cui x= (1-t^2)/(2t) e dx=(-(1+t^2))/(2t^2)dt



Modificato da - òneiros il 03/11/2003 13:03:13

Modificato da - òneiros il 03/11/2003 13:04:26