Integrale= arctg (x)

[Domodossola1]

Salve non riesco a capire come si fanno gli integrali del tipo:

$1/{y2-y+1}$

io penso si faccia cosi ditemi se è giusto:

$1/{y2-y+1}=1/{(y-1)^2-1/4+1}=1/{(y-1)^2+3/4}=1/{3/4[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}$ $={2/{\sqrt3}}/{{\sqrt3}/2[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}=2/{\sqrt3}{2/{\sqrt3}}/{[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]} $e se faccio l'integrale viene $2/{\sqrt3} arctg({2y-1}/{\sqrt3})$

è giusto? grazie per l'attenzione

[Palliit]

Ciao. E' quasi giusto.

Qua :

$...=1/{3/4[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}...$

in realtà è: $...=1/{3/4[({2y-2}/{\sqrt3})^2+1]}...$, con le dovute correzioni successive, fatte le quali mi sembra che sia tutto a posto.

[21zuclo]

@Domodossola

per far prima senza dover stare lì a calcolare tutto e fare tutti i passaggi ricordati questa semplice formula

\[\displaystyle \int \frac{1}{1+\left(\frac{ax+b}{c}\right)^2} dx= \frac{c}{a}\arctan \left(\frac{ax+b}{c}\right)+C \]

così arrivata qui

"Domodossola":

$1/{y2-y+1}=1/{(y-1)^2-1/4+1}=1/{(y-1)^2+3/4}=1/{3/4[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}$

ti veniva subito seguendo la formula

ti veniva, $4/3 \cdot (sqrt(3))/(2)\arctan((2y-2)/(sqrt(3)))=(2 sqrt(3))/(3)\arctan((2y-2)/(sqrt(3)))=2/(sqrt(3))\arctan((2y-2)/(sqrt(3)))+C$

è più veloce!

[Domodossola1]

"Palliit":Ciao. E' quasi giusto.

Qua :

$...=1/{3/4[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}...$

in realtà è: $...=1/{3/4[({2y-2}/{\sqrt3})^2+1]}...$, con le dovute correzioni successive, fatte le quali mi sembra che sia tutto a posto.

Pallit perchè è: $=1/{3/4[({2y-2}/{\sqrt3})^2+1]}$


ho sbagliato a scrivere infatti doveva essere(visto che l'avevo già fatto su un foglio)


$1/{y2-y+1}=1/{(y-1/2)^2-1/4+1}=1/{(y-1/2)^2+3/4}=1/{3/4[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}$ $={2/{\sqrt3}}/{{\sqrt3}/2[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]}=2/{\sqrt3}{2/{\sqrt3}}/{[({2y-1}/{\sqrt3})^2+1]} $e se faccio l'integrale viene $2/{\sqrt3} arctg({2y-1}/{\sqrt3})$

però non capisco perchè hai messo quel due li.. pardon

[Palliit]

Ciao. Hai ragione, è colpa della fretta, di cui mi scuso, con cui ho guardato i tuoi calcoli: quando hai raccolto $3/4$ a denominatore, dentro la parentesi tutto sarebbe stato da moltiplicare per $2/sqrt 3$, quindi se la scomposizione $(y-1)^2+...$ fosse stata corretta (e ripeto, nella fretta l'ho data per buona, ma mi consola il fatto di non essere stato l'unico a non accorgersene) sarebbe saltato fuori quello che ti ho postato.

[21zuclo]

@Domodossola
non me ne sono accorto neanche io.. chiedo scusa!.. Comunque ricordati la formula generale, che ho scritto.. fai prima i calcoli.