Integrale analisi complessa

[Uomosenzasonno]

Buonasera a tutti.

Volevo chiedere una cosa riguardo al seguente integrale:

$int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x(x-1)) dx $

Allora: io ho deciso di porre $cos(x) = e^(ix)$ a questo punto, in teoria, il calcolo dell'integrale (ponendo $x = z$) dovrebbe risultare nel seguente:

$int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x(x-1)) dx = Re(int_(-oo)^(+oo) e^(iz)/(z(z-1)) dz )$

Primo stop: fin quì è ok?

Ora supponendo che il ragionamento fino a questo punto sia corretto, dobbiamo applicare il teorema dei residui. Si prende quindi, come dominio di integrazione, la semicirconferenza sul piano $Im > 0$ e si vede quali sono le singolarità all'interno di tale circonferenza. Ora, dato che tutti i punti singolari sono a $Im = 0$, mi verrebbe da dire che l'integrale è nullo.

Funziona??

EDIT:

Ho visto che per il lemma di Jordan, se $lim_(z->+oo) f(z) = 0 $ allora $int_(-oo)^(+oo) f(z)e^(i omega z)dz = 0$... se cio' è corretto, allora l'esercizio è corretto e io mi sono fatto bocciare per non aver consegnato il compito, avendo fatto un esercizio corretto.. e devo morire...

[ciampax]

Come fai a "decidere" di porre $\cos x=e^{ix}$ se è ben noto che $\cos x={e^{ix}+e^{-ix}}/2$??? D'altra parte così facendo non mi pare proprio che quello che scrivi sia la parte reale dell'integrale complesso.

[Uomosenzasonno]

Sapendo che $e^(ix) = cos(x) + isen(x)$, in teoria ho che $cos(x) = Re(e^(ix))$. No?

[regim]

Ma che dice il testo, quell'integrale improprio esiste?

[dissonance]

Non c'è bisogno di morire adesso, saresti stato bocciato comunque anche col compito consegnato. Le singolarità sull'asse reale si trattano in una maniera particolare che sicuramente hai visto fare (si "scansano") e contribuiscono al risultato finale, che quindi non è nullo. Poi non ho capito da dove hai tirato fuori quella conclusione basata sui lemmi di Jordan. Mi pare proprio falsa, eh. Prendi per esempio \(f(x)=1/(1+x^2)\). Ti pare che \(\hat{f}(\omega)=0\)? A me no.

Comunque io non sono mai stato molto bravo con queste cose. Ciampax ne sa molto più di me.

[Uomosenzasonno]

"dissonance":Non c'è bisogno di morire adesso, saresti stato bocciato comunque anche col compito consegnato. Le singolarità sull'asse reale si trattano in una maniera particolare che sicuramente hai visto fare (si "scansano") e contribuiscono al risultato finale, che quindi non è nullo. Poi non ho capito da dove hai tirato fuori quella conclusione basata sui lemmi di Jordan. Mi pare proprio falsa, eh. Prendi per esempio \(f(x)=1/(1+x^2)\). Ti pare che \(f^\hat(\omega)=0\)? A me no.

Comunque io non sono mai stato molto bravo con queste cose. Ciampax ne sa molto più di me.

no, infatti hai ragione, non funziona la storia del lemma di Jordan. In effetti non ci ho mai dato molto peso, nel senso che l'ho trovato girovagando su internet ma non era materiale attendibile, quindi non so'.

Comunque, tornando a noi, devo ammettere che non ho mai visto come si trattano le singolarità sull'asse reale. Ti giuro che non mi era mai capitato. Mica potreste indirizzarmi? Perché altrimenti rimarrà una lacuna..

[regim]

Quello e' un integrale improprio, la funzione e' integrabile nell'insieme se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa separatamente, se cio' avviene allora poi puoi calcolarlo come meglio credi, altrimenti non e' integrabile. Nei pressi di $-1$ non ci siamo mi pare, a me vengono due infiniti, ma ho fatto a mente i conti, potrei sbagliarmi. Al di la' di $-1$ non ci sono problemi, quindi in generale in quell'insieme non e' integrabile. Se vuoi fare un calcolo mettendo insieme intervalli in cui la funzione e' positiva e quelli in cui e' negativa, lo puoi fare se la funzione e' integrabile nel senso sopra detto, altrimenti ti stai dando una tua definizione.

[dissonance]

"regim":Quello e' un integrale improprio, la funzione e' integrabile nell'insieme se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa separatamente, se cio' avviene allora poi puoi calcolarlo come meglio credi, altrimenti non e' integrabile.[...]

No vabbé lascia stare regim. Quando si calcolano integrali con i residui si intende sempre che si sta calcolando il valore principale, ovvero

\[\lim_{c \to \infty} \int_{-c}^c f(x)\, dx.\]

Questa degli integrali con i residui è una procedura di calcolo rough'n'ready, non ti porre troppi problemi teorici.

[regim]

ok tra un programma e un circuito non ho piu tempo di proseguire..

[Uomosenzasonno]

Ho trovato questa discussione
viewtopic.php?p=195674

Ho dato una letta veloce.. ma mi sembra che risolva proprio il mio dubbio. Almeno credo.

[Uomosenzasonno]

Allora, vediamo se ho capito:

Esercizio:
Calcolar, mediante le tecniche dell'analisi complessa, l'integrale:
$int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x^2-x)dx $

Propongo questa soluzione:
Passiamo al piano complesso, ponendo $x = z$, con $Re(z) = x$.
Sapendo che $e^(iz) = cos(z) + isen(z)$, possiamo scrivere che $Re(e^(iz)) = cos(z)$, percui alla fine possiamo scrivere:
$int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x^2-x)dx = Re(int_(-oo)^(+oo) e^(iz)/(z^2-z)dz )$
Svolgiamo il calcolo di:
$int_(-oo)^(+oo) e^(iz)/(z^2-z)dz$

Vediamo che la funzione integranda ha due poli semplici in $z_0=0$ e $z_1=1$. Sono due poli che si trovano sull'asse reale. Calcoliamo i residui relativi a tali singolarità:

$Res(f(z),z_0) = lim_(z->0)(z*f(z)) = lim_(z->0)e^(iz)/(z-1) = -1$
$Res(f(z),z_1) = lim_(z->1)((z-1)*f(z)) = lim_(z->1)e^(iz)/z = e^(i)$

A questo punto, sapendo che $e^(i) = cos(1) + isen(1) $, possiamo applicare il teorema dei residui:

$int_(-oo)^(+oo) e^(iz)/(z^2-z)dz = 2pii*(1/2sum_(k = 0)^(1)Res(f(z),z_k) )= pii(cos(1)-1) -pisen(1)$
Dove l'$1/2$ che moltiplica la sommatoria, è dovuto al fatto che i poli sono sull'asse reale e il segno del risultato dell'integrale (che è positivo), dipende dal fatto che l'esponente di $e^(iz)$ è positivo (quindi la funzione converge su $Im>0$).

Essendo il risultato dell'esercizio proposto, uguale alla sola parte reale dell'integrale sopra, si ha:

$int_(-oo)^(+oo) cos(x)/(x^2-x)dx = -pisen(1)$

Funziona?