Integrale analisi 1

[deioo]

$int_{0}^{1} frac\{x+1} {x}\ log|x|dx

integrale dato all ultimo esame di analisi 1 della federico secondo napoli qualcuno puo darmi una mano a risolverlo grazie

[Luca.Lussardi]

L'integranda diventa $logx+1/xlogx$; $logx$ e' classico da integrare per parti, mentre $1/xlogx$ e' altrettanto semplice, osserva che $1/x$ e' la derivata di $logx$...

[Sk_Anonymous]

Non è difficile in vero stabilire che l'integrale [definito] proposto è divergente...

I casi sono due:

1) l'integrale non è stato scritto in maniera corretta

2) al 'Federico II' di Napoli danno esercizi di esame non risolvibili

Tertium non datur...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[deioo]

"lupo grigio":Non è difficile in vero stabilire che l'integrale [definito] proposto è divergente...

I casi sono due:

1) l'integrale non è stato scritto in maniera corretta

2) al 'Federico II' di Napoli danno esercizi di esame non risolvibili

Tertium non datur...

cordiali saluti

lupo grigio
lupo grigio questo è stato dato al mio esame ingegneria informatica l integrale nn era difficile ma la funzione era impossibile quindi nn fare il filosofo




An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Sk_Anonymous]

Eheheheh!!!... il vecchio lupo è tutto il contrario di un 'filosofo'!...

Sembra dunque di capire che in quel di Napoli [città rinomata in tutto il mondo per il suo tecnologicamente avanzato sistema di smaltimento dei 'rifiuti solidi urbani'... ] agli esami di analisi capita di trovarsi 'da risolvere' l'integrale definito seguente...

$int_0^1 (1+x)/x*ln |x|*dx$ (1)

Si deve concludere che, almeno nel caso dei docenti della locale Università, l'aumento [medio] indiscriminato di 101 euro mensili recentemente elargito dal governo agli 'statali' sia ben 'meritato'...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Cmax1]

Perché è così strano? Da quanto ricordo all'esame di Analisi I era prassi comune esaminare la convergenza dell'integrale, e se divergeva peggio per l'integrale, ma lo studente era tenuto a descriverne il carattere.

[deioo]

"lupo grigio":Eheheheh!!!... il vecchio lupo è tutto il contrario di un 'filosofo'!...

Sembra dunque di capire che in quel di Napoli [città rinomata in tutto il mondo per il suo tecnologicamente avanzato sistema di smaltimento dei 'rifiuti solidi urbani'... ] agli esami di analisi capita di trovarsi 'da risolvere' l'integrale definito seguente...

$int_0^1 (1+x)/x*ln |x|*dx$ (1)

Si deve concludere che, almeno nel caso dei docenti della locale Università, l'aumento [medio] indiscriminato di 101 euro mensili recentemente elargito dal governo agli 'statali' sia ben 'meritato'...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

ma ke centrano ora i rifiuti?? cmq ti aspettiamo munnezz

[Luca.Lussardi]

Io non ho capito la risposta di lupo grigio; se l'integrale diverge pace all'anima sua. Ogni scusa e' buona per sparare a zero sui professori universitari? Cerchiamo di essere meno polemici e piu' flessibili.

[Sk_Anonymous]

Per rimediare al mio inguaribile 'spirito polemico' e alla mia 'scarsa flessibilità' un bel quesito ...

Supponiamo che l'integrale definito sia stato riportato erroneamente e cerchiamo di trovare quale doveva essere. Dal momento che in $0
$int_(-1)^1 (1+x)/x* ln |x|*dx$ (1)

A questo punto un interessante quesito: quanto vale l'integrale (1)?...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but nevere his nature

[Cmax1]

Magari perchè la primitiva di $\frac{1}{x}$ è $ln|x|+C$, come usualmente riportato nelle tavole.

[Luca.Lussardi]

In tal caso la funzione data non ammette integrale in senso generalizzato, poiche' diverge negativamente l'integrale tra 0 e 1 e diverge positivamente quello tra -1 e 0.

La funzione data in partenza e' invece integrata tra 0 e 1; il modulo "di troppo" probabilmente e' stato messo a solo titolo di esercizio.

[Sk_Anonymous]

Chi è interessato alle applicazioni 'concrete' della Matematica sa da tempo come 'affrontare' un integrale del tipo...

$int_(-a)^a f(x)*dx$ (1)

Intanto qualunque $f(x)$ è scindibile in 'parte pari' e 'parte dispari' nel modo seguente...

$f(x)=f_p(x)+f_d(x)$ (2)

... con...

$f_p(x)= 1/2*[f(x)+f(-x)]$

$f_d(x)=1/2*[f(x)-f(-x)]$ (3)

Ora è evidente che è...

$int_(-a)^(a) f(x)*dx= 2*int_0^a f_p(x)*dx$ (4)

... ossia solo la 'parte pari' della funzione contribuisce all'integrale (1). Nel caso nostro quindi è...

$int_(-1)^1 (1+x)/x*ln |x|*dx= 2*int_0^1 ln x*dx= -2$ (5)

Semplice non è vero?...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

P.S. Attenzione: nessuno studente in nessuna Università si azzardi in un esame a ripetere quanto asserito da lupo grigio in questa circostanza. Ora come sempre, a scanso di guai, in sede di esame ripetere parola per parola quanto detto da Luca...

[Luca.Lussardi]

La battuta finale te la potevi risparmiare, in quanto non serve a nulla: la Matematica e' una sola, non esiste quella che il professore vuole sentirsi dire e quella "concreta" che poi si fa. La maturtita' scientifica e matematica si raggiunge proprio quando si capisce questa cosa, che la Matematica "rigorosa" e "per i matematici" e' esattamente la stessa Matematica degli ingegneri, dei fisici, e di tutti quanti. Uno puo' anche perdere di rigore quando fa qualche conto euristico, ma poi se viene un risultato assurdo deve essere in grado di capire dove c'e' l'errore, ed ecco che il rigore e' essenziale, e il tuo esempio di sopra e' calzante. Nella tua risposta il tutto funziona ed e' effettivamente corretto solo se tu sai in partenza che $f$ e' integrabile su $(-a,a)$, in questo caso per giunta in senso improprio. Dunque la tua osservazione cade in questo esempio.

[cozzataddeo]

Sinceramente non ho capito cosa vuoi evidenziare con il tuo ragionamento scorretto, Lupo Grigio.
Io sono un ingegnere elettronico e non è una novità che il modo con cui gli ingegneri fanno i calcoli fa venire la pelle d'oca ai matematici. Questo non significa che un ingegnere non tenga conto dei teoremi che stanno alla base dei calcoli svolti. Se un integrale diverge, diverge e basta, almeno che non ci si inventi una diversa teoria della misura...
Per aggirare questo problema, un ingegnere può decidere di sommare i contributi della funzione fino ad un $epsilon$ sufficientemente vicino a $0$ per la sua applicazione. Cosí facendo, però, cambia uno degli estremi di integrazione e quindi risolve, matematicamente parlando, un problema diverso.

Non so, forse ti è capitato nella tua pratica lavorativa di utilizzare un integrale divergente come se fosse convergente calcolandolo mediante qualche proprietà non valida? E il risultato ha fatto funzionare la tua applicazione?

[_Tipper]

"lupo grigio":Intanto qualunque $f(x)$ è scindibile in 'parte pari' e 'parte dispari' nel modo seguente...

$f(x)=f_p(x)+f_d(x)$ (2)

... con...

$f_p(x)= 1/2*[f(x)+f(-x)]$

$f_d(x)=1/2*[f(x)-f(-x)]$ (3)

Scusate l'intromissione, ma quanto scritto è vero solo se $f$ è definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine, e non per qualunque funzione. È così o sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Ragazzi
io sono sempre stato dell’idea che la miglior maniera di rispondere a certi tipi di ‘osservazioni’ sia quella di mettere di fronte a dati di fatto incontrovertibili. Così per rispondere a tono all’amico Cozza [nonché collega visto che anche io sono ingegnere elettronico…], parlerò di un algoritmo che ho implementato più volte nelle mie ‘applicazioni’, una delle quali mi è valso un ‘brevetto’ ed ha il pregio di essere l’unica realizzazione del genere al mondo ‘funzionante’ [mi rendo conto che in effetti è poca cosa… ]. L’algoritmo in questione è noto come Trasformata di Hilbert. Andando a consultare il bellissimo trattato di A. Poularikas The Transform and Application Handbook troviamo la seguente definizione di H-trasformata…

Sia $u(t)$ una funzione temporale definita in $-ooTrasformata di Hilbert di $u(t)$ la funzione…

$v(t)= 1/pi*int_(-oo)^(+oo) (u(tau))/(t-tau)*d tau$ (1)

… ove l’integrale deve essere inteso come valore principale

Tutto chiaro, non è vero?… Ora facciamo un ‘esempio pratico’ e [sempre seguendo il testo citato…] calcoliamo la H-trasformata della funzione…

$u(t)=1$ per $|t|<1$, $=0$ per $|t|>1$ (2)

Il calcolo è presto fatto e il risultato è il seguente…

$v(t)=1/pi*int_(-1)^1 1/(t-tau)*d tau= 1/pi* ln |(t+1)/(t-1)|$ (3)

Ora è immediato verificare che nel calcolo dell’integrale si è implicitamente usato il ‘trucco’ di considerare la sola ‘parte pari' della funzione integranda nell’intervallo $-1
$v(0)=-1/pi*int_(-1)^1 1/tau*d tau$ (4)

… il quale sarebbe ‘divergente’ secondo i ‘dogmi ufficiali’, ma che in realtà è nullo essendo nulla la ‘parte pari’ della funzione sotto il segno di integrale…

Quindi per fornire risposta alla tua [assai astuta] domanda caro Cozza… il risultato in questo caso non solo ha fatto ‘funzionare’ la mia applicazione, ma mi è pure valso un brevetto …

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Inmytime]

"lupo grigio":

Sia $u(t)$ una funzione temporale definita in $-ooTrasformata di Hilbert di $u(t)$ la funzione…

$v(t)= 1/pi*int_(-oo)^(+oo) (u(tau))/(t-tau)*d tau$ (1)

… ove l’integrale deve essere inteso come valore principale

Tutto chiaro, non è vero?… Ora facciamo un ‘esempio pratico’ e [sempre seguendo il testo citato…] calcoliamo la H-trasformata della funzione…

$u(t)=1$ per $|t|<1$, $=0$ per $|t|>1$ (2)

io sapevo che u(t) deve essere regolare (provate a calcolare v(1)... lì il valore principale direi che diverge, non è bello mandare segnali di questo tipo a un HF). a parte questo, che il valore principale di una funzione pari è nullo lo sapevo anch'io al liceo, forse il brevetto si riferisce a un altra scoperta... mi piacerebbe conoscerla

[Sk_Anonymous]

In effetti la funzione...

$v(t)=1/pi*ln |(1+t)/(1-t)|$ (1)

... è definita ovunque ad eccezione dei punti $t=1$ e $t=-1$, dove presenta delle singolarità...

A parte questo alla $u(t)$ non è richiesto di essere 'regolare', è richiesto solo che l'integrale che definisce la H-trasformata esista. Altre 'interessanti' H-trasformate si hanno per...

$u(t)=delta(t)$ -> $v(t)=1/(pi*t)$ (2)

... e per...

$u(t)= costante$ -> $v(t)=0$ (3)

Il 'brevetto' relativo alla applicazione della H-trasformata riguarda un sistema di trasmissione 'speciale' per elettrodotti alta tensione nel quale i segnali sono convertiti direttamente in AF senza passare per la IF...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Luca.Lussardi]

Abbiamo scomodato un algortimo dall'oscuro significato pratico (almeno per me) per un banale integrale di Analisi 1 che si vede subito che diverge negativamente
1) per via diretta calcolando le primitive e passando al limite (strada inizialmente da me suggerita)
2) per via sintetica sfruttando confronti con funzioni di cui e' noto il comportamento.

Che altro? Per altro le tue risposte lupo grigio sono sempre le stesse, almeno cerca di variare argomenti un po'... fossilizzarsi sulle stesse cose tutta una vita non e' salutare.

[elgiovo]

"Luca.Lussardi":Abbiamo scomodato un algortimo dall'oscuro significato pratico (almeno per me) per un banale integrale di Analisi 1 che si vede subito che diverge negativamente
1) per via diretta calcolando le primitive e passando al limite (strada inizialmente da me suggerita)
2) per via sintetica sfruttando confronti con funzioni di cui e' noto il comportamento.

Che altro? Per altro le tue risposte lupo grigio sono sempre le stesse, almeno cerca di variare argomenti un po'... fossilizzarsi sulle stesse cose tutta una vita non e' salutare.

Che noia... Io ho imparato qualcosa di nuovo da questo topic,
invece di veder risolto il solito integraluccio...

[Luca.Lussardi]

Si', ma mettiti nei panni di chi sa a malapena cosa e' un integrale e chiede aiuto e si trova davanti questi temi del tutto fuori campo....... una risposta va anche calibrata in funzione di chi ha posto la domanda.