Integrale

[^Tipper^1]

Ciao, devo calcolare $int1/(tgx+2)dx$. Ho proceduto così: ho posto $tgx=sinx/cosx$, quindi ottengo $intcosx/(sinx+2cosx)dx$. Pongo $sinx=t$, $cosx=sqrt(1-t^2)$, $x=arcsint$, $dx=1/sqrt(1-t^2)$.

$int1/(t+2sqrt(1-t^2))dt= int1/t dt+1/2int1/sqrt(1-t^2)dt= Ln|t|+1/2sint+c=Ln|sinx|+1/2sin(sinx)+c$ Però non mi torna: dove sbaglio? Grazie.

[orazioster]

"Mirino06":

$int1/(t+2sqrt(1-t^2))dt= int1/t dt+1/2int1/sqrt(1-t^2)dt

-! sbagli in questo, come certamente sai!

[^Tipper^1]

Ho capito l'errore. Quindi, come faccio a risolverlo?

[^Tipper^1]

Potete darmi una mano?

[Antimius]

Poni [tex]$t=tg x$[/tex], ottenendo [tex]$dx=\frac{dt}{1+t^2}$[/tex]. Sostituendo dovresti riuscire a risolverlo; viene un integrando razionale.

[Gi81]

Meglio ripartire da $int 1/(tg(x)+2) dx$
Suggerisco la sostituzione $t=tg(x)$
edit: anticipato

[^Tipper^1]

Premetto che ancora devo iniziare il corso di Analisi II, quindi per il momento mi sto avvalendo delle cose che ho imprato in quinta alle superiori.

Mi blocco quando devo fare $int1/((t+2)(t^2+1))dt$. Cioè: se avessi avuto al denominatore avessi avuto per esempio $(t+2)(t+1)$ lo avrei saputo risolvere, scrivendo $A/(t+2)+B/(t+1)$. In questo caso però, non so come comportarmi con quel $t^2$.

[pater46]

Al posto di $B$ devi mettere un polinomio di grado $2-1 = 1$.

$A/(t+2) + (Bt+1)/(t^2+1)$

[^Tipper^1]

Come mai di grado $2-1$? Il $2$ immagino si riferisca al grado di $t^2+1$, ma l'$1$ a cosa si riferisce? Grazie, ciao!