Integrale

[ciuf_ciuf]

Non riesco a trovare gli estremi di integrazione , l'integrale è

$ int_()^() sqrt(x)y dxdy $ in $ T= { x^2+4y^2<=4, 0<=x<=y }

Qualche aiuto ?

[Antimius]

Intanto disegnati il dominio di integrazione. Può aiutarti.
Poi esegui un cambio di variabili.

[ciuf_ciuf]

Già fatto il disegno, il cambio di variabili ( ellittiche ) l'ho provato pure ma non mi ha portato a nulla.

[Antimius]

Se esegui la trasformazione [tex]$\begin{cases} x=2\rho\cos{\theta} \\ y=\rho\sin{\theta} \end{cases}$[/tex],
ottieni [tex]$ \begin{cases} 0 \leq \rho \leq 1 \\ 0 \leq 2\cos{\theta} \leq \sin{\theta} \end{cases}$[/tex].
Visto che sei nel primo quadrante, non hai nemmeno problemi con il segno del seno e del coseno nella seconda disuguaglianza. Ora non è difficile trovare l'angolo.

[ciuf_ciuf]

Io mi blocco proprio nella seconda disuguaglianza, infatti dalla seconda separandole trovo

$ -pi/2 < \theta < pi/2 $ e $ tan\theta >= 2 $ e qui mi fermo ! Come bisogna trattare la seconda disuguaglianza ?

[Antimius]

E come vuoi trattarla? La tangente è invertibile in quell'intervallo, inoltre l'arcotangente è crescente, quindi puoi scrivere [tex]$\theta \geq \arctan{2}$[/tex].

[ciuf_ciuf]

si ma io durante il compito sono senza calcolatrice, come me lo trovo $ arctan2 $ ?

[Antimius]

Lol ma perché? Non puoi lasciarlo così? E' un valore esatto, la calcolatrice te ne darebbe solo un'approssimazione.

[ciuf_ciuf]

Quindi

$ arctan2 < \theta < pi/2 $

è l'intervallo, giusto ?

Nel frattempo io sono andato avanti e ho fatto le sostituzioni all'integrale che dovrebbe diventare

$ int_()^() (2rho costheta)^(1/2) sintheta 2rho^2 $

Mi sembra abbastanza complicato, mi sa che il cambiamento di coordinate non serve a molto.

[Antimius]

Guardalo bene.

Scrivi in questo modo: [tex]$2\sqrt{2}\rho^{\frac{5}{2}}\, \sqrt{\cos{\theta}}\sin{\theta}$[/tex].
E considera che [tex]$D(\cos{\theta})=-\sin{\theta}$[/tex]

[ciuf_ciuf]

Si si ci sono arrivato ! grazie mille comunque.

ma poi $[ cos(arctan2)]^(3/2) $ glielo lascio così no, tanto è un numero !

[Antimius]

Sìsì, certo, non credo ci siano problemi