Integrale
Salve. Avrei bisogno di aiuto per un integrale. Ho provato a risolverlo per sostituzione, ma penso sia sbagliato perché diventa lunghissimo.
Come potrei risolverlo?
(((4-x^4)^(1/2)) / (1+x^2))
Come potrei risolverlo?
(((4-x^4)^(1/2)) / (1+x^2))
Risposte
$ (((4-x^4)^(1/2)) / (1+x^2)) $
scusate, ho sbagliato a scrivere
$ (((4-x^2)^(1/2)) / (1+x^2)) $
$ (((4-x^2)^(1/2)) / (1+x^2)) $
forse per parti
Prova a sostituire $t=sqrt((2-x)/(x+2))$, dovrebbe aiutarti a razionalizzare.
ho provato ma viene lo stesso molto lungo...penso vada fatto per sostit ma non so quale conviene fare
prova con quella che ho scritto su.
se uso quella sostituzione, cos devo mettere al posto di x e dx?
Devi fare un po' di calcoli, ma dovrebbe sparirti la radice quadrata. Comunque, trasforma $(x+2)*t^2=2-x$. Ora sai trovarti la $x$ in funzione di $t$, diciamo $x=g(t)$. Dopodiché $dx=g'(t)dt$.
perché hai scelto proprio quella sostituzione? C'è un procedimento?
Sì, $+-2$ sono le radici del polinomio sotto radice. Prova a sostituire, ti si dovrebbe semplificare.
ho provato...la radice scompare ma comunque rimangono molti altri calcoli da fare...Non ci sarebbe un metodo più rapido?
Mmh, non mi viene in mente nient'altro per ora. Potresti provare a sostituire $x=2*sint$, ma mi sa che ti rimane la radice.
Comunque, se non hai più la radice, è l'integrazione di una funzione razionale. Non dovrebbero essere calcoli così esorbitanti.
Comunque, se non hai più la radice, è l'integrazione di una funzione razionale. Non dovrebbero essere calcoli così esorbitanti.
Grazie, Antimius. Ho usato la sostituzione che mi hai suggerito tu.
Quindi, in generale, se sotto radice ho un trinomio di secondo grado che posso scomporre come
$ (ax + b) (cx + d) $
posso sempre ricorrere ad una sostituzione di tipo
$ t= root(2) ((ax + b) /(cx+d)) $
per eliminare la radice?
Quindi, in generale, se sotto radice ho un trinomio di secondo grado che posso scomporre come
$ (ax + b) (cx + d) $
posso sempre ricorrere ad una sostituzione di tipo
$ t= root(2) ((ax + b) /(cx+d)) $
per eliminare la radice?
credevo di aver risolto...ed invece no 
Ho effettuato la sostisuzione, fatto i calcoli, sfruttato l'identità dei polinomi e mi ritrovo di nuovo in difficoltà perché mi ritrovo a dover risolvere l'integrale di
$ (t^2+1)/(5t^4-6t^2+5) $
Questa è la prima volta che un integrale mi dia così tanti problemi
spero sia anche l'ultima...
"Antimius":
Mmh, non mi viene in mente nient'altro per ora. Potresti provare a sostituire $x=2*sint$, ma mi sa che ti rimane la radice.
Comunque, se non hai più la radice, è l'integrazione di una funzione razionale. Non dovrebbero essere calcoli così esorbitanti.
Ho provato...la radice se ne va ma mi ritrovo l'integrale di
$4 (cos^2 t)/(1+4 sin^2 t) $
Ho sostituito
$ cos^2 t = 1-sin^2 t $
così ho
$ 4(cos^2 t)/(1+4 sin^2 t) = -1 + 5 1/(1+4 sin^2 t) $
ma poi come risolvo l'integrale di
$ 1/(1+4 sin^2 t) $
?
In generale se hai un trinomio del tipo $ax^2+bx+c$ sotto radice, si effettua la sostituzione $t=sqrt(-a*(\rho_2-x)/(x-\rho_1))$ con $\rho_1<\rho_2$ e $a<0$.
(Non so se funzioni la sostituzione che hai proposto tu. Prova comunque! Ti toglie sicuramente la $x^2$ però non so se semplifica le cose più avanti).
Quando $a>0$ solitamente si usano trasformazioni del tipo $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)*(t-x)$. Come puoi vedere è sempre finalizzato a togliersi di mezzo l'$x^2$
In alcuni casi, se riesci a ricondurti (come adesso) ad una sostituzione con una funzione trigonometrica o iperbolica, fai prima.
Comunque, per l'integrale che hai scritto su, devi trovare le radici del polinomio al denominatore (se scrivi $q=t^2$ magari ti è più facile).
Se fai l'altra sostituzione ti viene $2*cost/(1+4sin^2t)$ perché hai la radice al numeratore, ma mi sa che ti conviene risolvere l'altro o, se vuoi risolvere questo, penso che dovresti fare un'altra sostituzione. Non so, ad esempio con le parametriche.
EDIT: in realtà mi sono accorto che l'ultimo integrale è immediato. Forse scritto in questa forma, te ne accorgi -> $D(2*sint)*1/(1+(2*sint)^2)
(Non so se funzioni la sostituzione che hai proposto tu. Prova comunque! Ti toglie sicuramente la $x^2$ però non so se semplifica le cose più avanti).
Quando $a>0$ solitamente si usano trasformazioni del tipo $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)*(t-x)$. Come puoi vedere è sempre finalizzato a togliersi di mezzo l'$x^2$
In alcuni casi, se riesci a ricondurti (come adesso) ad una sostituzione con una funzione trigonometrica o iperbolica, fai prima.
Comunque, per l'integrale che hai scritto su, devi trovare le radici del polinomio al denominatore (se scrivi $q=t^2$ magari ti è più facile).
Se fai l'altra sostituzione ti viene $2*cost/(1+4sin^2t)$ perché hai la radice al numeratore, ma mi sa che ti conviene risolvere l'altro o, se vuoi risolvere questo, penso che dovresti fare un'altra sostituzione. Non so, ad esempio con le parametriche.
EDIT: in realtà mi sono accorto che l'ultimo integrale è immediato. Forse scritto in questa forma, te ne accorgi -> $D(2*sint)*1/(1+(2*sint)^2)
Quel tipo di sostituzione è di solito denominata sostituzione di eulero, se cerchi per il web dovresti trovare materiale abbondante al riguardo. La sostituzione con le funzioni trigonometriche permette spesso di economizzare i calcoli, ma in alcuni casi non puoi esimerti dal farti un po' di conti =P. Arrivato a quel punto una sostituzione che ti permette di andare avanti è $v = tan(t)$, ma facendoti un po' di conti (assumendo che io li abbia fatti corretti) ti porta a risolvere $int (dv)/((1+v^2)(1+5v^2))$, che al solito ti devi risolvere scomponendo con Hermite.
EDIT: Antimius, ti viene $cos^2t$ al numeratore, perché devi considerare anche il $dx$
EDIT: Antimius, ti viene $cos^2t$ al numeratore, perché devi considerare anche il $dx$
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